수악중독

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던져서 나온 두 눈의 수의 곱이 짝수일 때, 나온 두 눈의 수의 합이 \(6\) 또는 \(8\) 일 확률은? ① \(\Large \frac{2}{27}\) ② \(\Large \frac{5}{27}\) ③ \(\Large \frac{8}{27}\) ④ \(\Large \frac{11}{27}\) ⑤ \(\Large \frac{14}{27}\) 정답 ②

\(3\) 학년에 \(7\) 개의 반이 있는 어느 고등학교에서 토너먼트 방식으로 축구 시합을 하려고 하는데 이미 \(1\) 반은 부전승으로 결정되어 있다. 다음과 같은 형태의 대진표를 만들어 시합을 할 때, \(1\) 반과 \(2\) 반이 축구 시합을 할 확률은? (단, 각 반이 시합에서 이길 확률은 모두 \(\Large \frac{1}{2}\) 이고, 기권하는 반은 없다고 한다.) ① \(\Large \frac{3}{4}\) ② \(\Large \frac{5}{8}\) ③ \(\Large \frac{1}{2}\) ④ \(\Large \frac{3}{8}\) ⑤ \(\Large \frac{1}{4}\) 정답 ⑤

진서와 윤서는 각각 주사위를 한 개씩 한 번만 던져서 더 큰 수의 눈이 나온 사람이 이기고, 같은 수의 눈이 나오면 비기는 것으로 하였다. 진서가 던진 주사위가 홀수인 눈이 나왔을 때, 진서가 이길 확률은? ① \(\Large \frac{1}{3}\) ② \(\Large \frac{2}{5}\) ③ \(\Large \frac{5}{12}\) ④ \(\Large \frac{1}{2}\) ⑤ \(\Large \frac{7}{12}\) 정답 ①

그림과 같이 둘레의 길이가 \(3\) 인 원을 삼등분하는 세 점 \(\rm A,\;B,\;C\) 가 있고, 각 점 위를 움직이는 말이 있다. 이 말은 한 개의 주사위를 던져 홀수의 눈이 나오면 시계방향으로 \(1\) 만큼 움직이고, 짝수의 눈이 나오면 그 수만큼 시계방향으로 움직인다. 예를 들면, 말이 \(\rm A\) 에서 출발할 때 주사위를 던져 \(3\) 이 나오면 \(\rm B\) 로 움직이고, 다시 주사위를 던져 \(2\) 가 나오면 \(\rm B\) 에서 \(\rm A\) 로 움직인다. \(\rm A\) 에서 출발한 말이 주사위를 \(n\) 번 던진 후, \(\rm A,\;B,\;C\) 에 있을 확률을 각각 \(p_n ,\; q_n ,\; r_n \) 이라 하면 \(p_{n+1} = ap_n ..

네 미지수 \(x,\;y,\;s,\;t\) 에 대하여 \[ \left ( \matrix { 4 & a \cr -6 & -3 } \right ) \left ( \matrix {x \cr y} \right ) = \left ( \matrix { 5 \cr b} \right ),\;\; \left ( \matrix{1 & -2 \cr a & 2 }\right ) \left ( \matrix {s \cr t} \right ) = \left ( \matrix { x \cr y } \right ) \] 인 관계가 성립한다. 첫 연립방정식을 만족하는 \((x,\;y)\) 의 해는 오직 한 쌍이고, 두 연립방정식을 동시에 만족하는 해 \(x,\;y,\;s,\;t\) 는 무수히 많이 존재할 때, 두 상수 \(a,\;b\..

다음은 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(_n{{\rm{C}}_1} + 2{ \cdot _n}{{\rm{C}}_2} + 3{ \cdot _n}{{\rm{C}}_3} + \cdots + n{ \cdot _n}{{\rm{C}}_n} = n \cdot {2^{n - 1}}\) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (i) \(n=1\) 일 때, (좌변)\({ = _1}{{\rm{C}}_1} = 1\), (우변)\(=2^0 =1\) 이므로 주어진 등식은 성립한다. (ii) \(n=k\) 일 때, 주어진 식이 성립한다고 가정하면 \[_k{{\rm{C}}_1} + 2{ \cdot _k}{{\rm{C}}_2} + 3{ \cdot _k}{{\rm{C}}_3} + \cdots + k{ \cdot _k}{{\r..

\(n\ge 2\) 인 모든 자연수 \(n\) 에 대하여\[\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)\left( {1 - \frac{1}{4}} \right)\left( {1 - \frac{1}{8}} \right) \cdots \left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right) > 1 - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{{{2^n}}}} \right)\] 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (1) \(n=2\) 일 때, \({\dfrac{3}{8}} > (가) \) 이므로 주어진 부등식은 성립한다. (2) \(n=k\;\;(k\ge 2)\) 일 때, \[\left( {1..

자연수 \(t\) 에 대하여 \({H_i} = 1 + {\dfrac{1}{2}} + {\dfrac{1}{3}} + \cdots + {\dfrac{1}{i}}\) 이라 할 때, 다음은 부등식 \[H_{2^n} \ge 1+ { \frac{n}{2}} \;\; (n=0,\;1,\;2,\;\cdots)\;\; \cdots\cdots \; ㉠ \] 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. (i) \(n=0\) 일 때, (좌변)\(= H_{2^0} = H_1 = (가)\) (우변) \(=1+{\dfrac{0}{2}} = 1\) 그러므로 ㉠이 성립한다. (ii) \(n=k\) 일 때, \(H_{2^k} \ge 1+ {\dfrac{k}{2}}\) 가 성립한다고 가정하면 \(H_{2^{k+1}} =1+{\dfrac{..

다음은 임의의 자연수 \(n\) 에 대하여 \(a_n >0\) 이고 \(\sum \limits _{k=1}^{n} a_{k}^{3} = \left ( \sum \limits _{k=1}^{n} a_k \right ) ^2 \) 이면 \( a_n = (가) \) 임을 증명하는 과정이다. 임의의 자연수 \(n\) 에 대하여 \(a_n >0\) 이고 \(\sum \limits _{k=1}^{n} a_{k}^{3} = \left ( \sum \limits _{l=1}^{n} a_k \right ) ^2 \) 이므로 \(a_{k+1}^{3} = \sum \limits _{i=1}^{k+1} a_{i}^{3} - \sum \limits _{i=1}^{k} a_{i}^{3} \) \(= \left ( \sum \li..

수열 \(\{a_n\}\) 이 \(a_1 =1,\;\; a_n + a_{n+1} = (-1)^n \log {\dfrac{n+1}{n}} \;\; (n=1, \; 2, \; 3, \; \cdots) \) 로 정의될 때, \( a_{100}\) 의 값은? ① \(-3\) ② \(-2\) ③ \(-2+\log 2\) ④ \(-\log 3\) ⑤ \(-\log 2\) 정답 ①