수악중독

임의의 자연수 \(n\) 에 대하여 \(n\) 개의 자연수 \(a_1 ,\; a_2 , \; \cdots , \;a_n \) 각각의 양의 약수 중에서 가장 큰 홀수의 합을 \({\rm P} ( a_1 , \; a_2 , \; \cdots , \; a_n )\) 이라 한다. 예를 들어, \({\rm P} ( 3, \; 4, \; 9, \; 12) = 3+1+9+3=16\) 이다. \({\rm P} ( a_1 , \; a_2 , \; \cdots , \; a_n )\) 이 다음과 같은 성질을 만족한다. (가) 자연수 \(a\) 에 대하여 \({\rm P} (2a) = {\rm P} (a) \) 이다. (나) 자연수 \(a, \; b\) 에 대하여 \( {\rm P} (a, \; b) = {\rm P} (b,..

6개의 양수 \(a,\; b,\; c,\; x,\; u,\; z\) 에 대하여 \(a

그림과 같이 곡선 \(y=x^2\) 위의 점 \({\rm P}_n \left ( n,\; n^2 \right )\) ( \(n\) 은 자연수) 에서의 접선이 \(x\) 축, \(y\) 축과 만나는 점을 각각 \({\rm Q}_n ,\; {\rm R}_n \) 이라 하고, 원점 \(\rm O\) 에 대하여 삼각형 \({\rm OQ}_n {\rm R}_n \) 의 넓이를 \(S_n\) 이라 하자. 이 때, \(\lim \limits_{n\to \infty} {\dfrac{S_n}{n^3}}\) 의 값은? ① \( \dfrac{1}{4}\) ② \( \dfrac{1}{5}\) ③ \( \dfrac{1}{6}\) ④ \( \dfrac{1}{7}\) ⑤ \( \dfrac{1}{8}\) 정답 ①

오른쪽 그림과 같이 주어진 함수 \(f(x)\) 에 대하여 수열 \(\{x_n\}\) 이 \(x_1 >0,\;\; x_{n+1} = f(x_n)\) 으로 정의되어 있다. 이 때, \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = \left\{{\begin{array}{ll}{\;(가)\;\;\; \left( {0 < {x_1} < 1} \right)}\\{\; (나)\;\;\; \left( {1 < {x_1} < 2} \right)}\\{\; (다)\;\;\; \left( {2 < {x_1} < 3} \right)}\end{array}} \right.\] 라고 한다. 이 때, (가), (나), (다)에 알맞은 수를 모두 합한 값을 구하시오. 정답 4

서로소인 두 양수 \(p. \;q\) 에 대하여 \({\rm log}_9 p= {\rm log}_{15} 2q = {\rm log}_{25} (p+q)\) 가 성립할 때, \(\dfrac{q}{p}\) 의 값은? ① \(\dfrac{3}{5}\) ② \(\dfrac{25}{9}\) ③ \(\dfrac{5}{3}\) ④ \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\) ⑤ \(\dfrac{1+\sqrt{17}}{8}\) 정답 ⑤

이차정사각행렬 \(A,\;B\) 에 대하여 \((A+B)^{-1} = A^{-1} +B^{-1} , \; AB+E=O\) 가 성립할 때, \(A^2 +B^2 \) 을 간단히 하면? (단, \(X^{-1} \) 는 \(X\) 의 역행렬, \(E\) 는 단위행렬, \(O\) 는 영행렬) ① \(A\) ② \(B\) ③ \(O\) ④ \(-E\) ⑤ \(E\) 정답 ⑤

이차정사각행렬 \(A\) 가 \(A^2 -A-E=O,\; \; A \left ( \matrix {2 \cr 3} \right ) = \left ( \matrix {1 \cr -4} \right )\) 를 만족한다. 연립방정식 \( (A+E) \left ( \matrix {x \cr y} \right) = \left ( \matrix { 2 \cr 3} \right )\) 의 해를 \(x=\alpha ,\; y=\beta \) 라 할 때, \(\alpha + \beta \) 의 값을 구하시오. (단, \(E\) 는 단위행렬, \(O\) 는 영행렬이다.) 정답 13

자연수 \(n\) 에 대하여 원점 \(\rm O\) 와 점 \((n, \; 0)\) 을 이은 선분을 밑변으로 하고, 높이가 \(h_n\) 인 삼각형의 넓이를 \(a_n\) 이라 하자. 수열 \(\{ a_n\}\) 은 첫째항이 \(\dfrac{1}{2}\) 인 등비수열일 때, 에서 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 \(a_n = {\dfrac{1}{2}} \) 이면 \(h_n = {\dfrac{1}{n}}\) 이다. ㄴ. \(h_2 = {\dfrac{1}{4}}\) 이면 \(a_n = \left ({\dfrac{1}{2}} \right ) ^n \) 이다. ㄷ. \(h_2 < {\dfrac{1}{2}} \) 이면 \(\lim \limits _{n\to \infty} n h..

자연수 \(n\) 에 대하여 집합 \(\{ k \; \vert \; 1\le k \le 2n ,\;\;k 는\;자연수\}\) 의 세 원소 \(a,\;b,\;c\;\;(a

\(n\) 이 양의 정수일 때, \(6^n\) 의 양의 약수의 총합은 \(T(n)\) 이다. 이 때, \(\lim \limits _{n\to \infty} {\dfrac{6^n}{T(n)}}\) 의 값을 구하면? ① \(\dfrac{1}{2}\) ② \(\dfrac{1}{3}\) ③ \(\dfrac{1}{6}\) ④ \(\dfrac{1}{12}\) ⑤ \(\dfrac{1}{18}\) 정답 ②