수악중독

$0$ 또는 $2$ 로만 된 수열 $\left \{ a_n \right \}$ 에서 무한급수 $\sum\limits_{n = 1}^\infty {\dfrac{a_n}{3^n}}$ 의 값이 $\dfrac{3}{4}$ 일 때, $\sum\limits_{n = 1}^{2007} {a_n}$ 의 값은? ① $2000$ ② $2002$ ③ $2004$ ④ $2006$ ⑤ $2008$ 정답 ⑤

그림과 같은 도로망이 있다. 5개의 지점 $\rm A,\;B,\;C,\;D,\;E$ 에서 각각의 길을 선택할 확률은 모두 같다. 즉, $\rm A$에서 $\rm B,\;E,\;D$ 에 갈 확률은 각각 $\dfrac{1}{3}$이고, $\rm E$ 에서 $\rm A,\;B,\;C,\;D$ 에 갈 확률은 각각 $\dfrac{1}{4}$이다. 한 번에 바로 연결된 다른 지점으로만 갈 수 있을 때, $\rm A,\;C$ 두 지점에 각각 있던 갑과 을이 동시에 움직여 두 번째 이동 후 처음으로 만날 확률은? ① $\dfrac{5}{36}$ ② $\dfrac{4}{27}$ ③ $\dfrac{5}{27}$ ④ $\dfrac{7}{36}$ ⑤ $\dfrac{7}{27}$ ..

어떤 비밀 회의 후 갑은 회장이"$\rm A$가 차기 회장 후보이다."라는 발언을 햇따고 하고, 을은 회장이 그런 발언을 하지 않았다고 하였다. 이 두 사람이 진실을 말할 확률이 각각 $\dfrac{4}{5},\;\dfrac{5}{6}$ 라고 하면, 회장이 실제로 그 발언을 했을 확률은 $\dfrac{p}{q}$ 이다. 이 때, $p+q$의 값은? 단, 회장이 "$\rm A$가 차기 회장 후보이다."라는 발언을 할 확률과 하지 않을 확률은 같고, $p,\;q$는 서로소인 자연수이다. ① $13$ ② $14$ ③ $15$ ④ $16$ ⑤ $17$ 정답 ①

주머니 안에 스티커가 1개, 2개, 3개 붙어 있는 카드가 각각 1장씩 들어 있다. 주머니에서 임의로 카드 1장을 꺼내어 스티커 1개를 더 붙인 후 다시 주머니에 넣는 시행을 반복한다. 주머니 안의 각 카드에 붙어 있는 스티커의 개수를 3으로 나눈 나머지가 모두 같아지는 사건을 $\rm A$라 하자. 시행을 6번 하였을 때, 1회부터 5회까지는 사건 $\rm A$가 일어나지 않고, 6회에서 사건 $\rm A$가 일어날 확률을 $\dfrac{p}{q}$라 하자. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 11

아래 그림과 같이 한 변의 길이가 1인 정사각형 $\rm ABCD$가 있다. 동점 $\rm P$는 한 개의 주사위를 던져서 나오는 눈의 수에 따라 다음과 같은 규칙으로 정사각형 $\rm BACD$ 변 위를 움직여서 각 꼭짓점에 도착한다고 한다. (가) 주사위의 눈의 수가 3 이하이면, 시계 반대 방향으로 (눈의 수)$\times$2 만큼 움직인다. (나) 주사위의 눈의 수가 4 이상이면, 시계 방향으로 (눈의 수) 만큼 움직인다. 예를 들어, 꼭짓점 $\rm A$에 있던 동점 $\rm P$는 3의 눈이 나오면 시계 반대 방향으로 6만큼 움직여서 꼭짓점 $\rm C$에 도착하고, 다시 5의 눈이 나오면 시계 방향으로 5만큼 움직여서 꼭짓점 $\rm B$에 도착한다. 동점 \(\..

수열 $\left \{ a_n \right \}$ 은 각 항과 공차가 $0$ 이 아닌 등차수열이다. $k$ 의 값에 관계없이 다음 이차방정식을 모두 만족하는 근을 $\alpha$ 라고 할 때, $\alpha$ 가 속하는 집합은? $a_k x^2 + 2 a_{k+1} x + a_{k+2} = 0$ (단, $k=1,\;2,\;\cdots\;$ ) ① \(\left \{ x \; \vert \; x^2 -4x-5

실수를 성분으로 갖는 두 행렬 $A,~B$가 \(A = \left( {\matrix{a & b \cr c & d } } \right),\;\;B = \left( {\matrix{a & c \cr b & d } } \right)\)이고, $B$가 $A$의 역행렬이고 할 때, 다음 중 옳은 것을 모두 고른 것은? ㄱ. $ab+cd=0$ ㄴ. $a^2 +c^2 =1$ ㄷ. $ad-bc=2$ ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ②

\({\left( {\matrix{2 & x \\ y & z} } \right)^2} = \left( {\matrix{0 & 0 \\ 0 & 0} } \right)\)을 만족하는 정수 $x,~y,~z$에 대하여 $x+y+z$의 최댓값은? (단, $x>y$ ) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5 정답 ①

먼저 $\rm A$ 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 $\rm B$ 주머니에 넣은 다음 다시 $\rm B$ 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 $\rm A$ 주머니에 넣는 과정을 한 번의 "시행"이라 하자. $\rm A$ 주머니에는 검은 공이 3개, $\rm B$ 주머니에는 흰 공이 3개 들어있는 처음 상태에서 연속하여 3회의 '시행'을 했을 때 두 주머니의 공이 처음 상태와 같게 될 확률을 $\dfrac{q}{p}$ ($p,\;q$는 서로소인 자연수)라 하자. 이 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, 공의 모양과 크기는 모두 같다.) 정답 13

$a,\;b$ 가 양수일 때, 이차방정식 $x^2 -2ax-b=0$ 과 수열 $\left \{ x_n \right \}$ 이 다음을 만족한다. (가) 이차방정식 $x^2 -2ax-b=0$ 은 서로 다른 두 실근 $\alpha,\;\beta$ 를 갖는다. (단, \(\alpha