수악중독

반지름의 길이가 \(2 \rm cm\)인 반구형의 그릇에 매초 \(\dfrac{\pi}{5}\) \( \rm cm^3\)의 비율로 물을 넣을 때, 바닥에서 수면까지의 높이가 \(1 \rm cm\)가 되는 순간에 수면의 높이의 증가율은? ① \(\dfrac{1}{15} \) ② \( \dfrac{2}{15} \) ③ \( \dfrac{1}{5} \) ④ \( \dfrac{4}{15} \) ⑤ \( \dfrac{1}{3} \) 이 문제는 미적분과 통계기본의 교육과정에 포함되지는 않지만, 충분히 응용하여 풀 수 있는 문제입니다. 정답 ①

곡선 \( y=x^3 -16x\)와 곡선 \(y=kx(x-4)\)가 서로 다른 세 점에서 만나고 두 곡선으로 둘러싸인 두 부분의 영역의 넓이가 같을 때, 상수 \(k\)의 값을 모두 더하면? ① \(22\) ② \(20\) ③ \(18\) ④ \(16\) ⑤ \(15\) 정답 ③

임의의 실수 \(a\)에 대하여 정적분 \(\displaystyle \int_a^{a + 1}\) \({\left( {{x^2} + px + q} \right)dx} \)의 값이 양수가 되기 위한 필요충분조건은 \({p^2} - 4q < \Box \) 이다. 이 때, \(\Box\) 안에 알맞은 수는? ① \(1\) ② \(\dfrac{1}{2}\) ③ \(\dfrac{1}{3}\) ④ \(\dfrac{1}{4}\) ⑤ \(\dfrac{1}{6}\) 정답 ③

함수 \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{1 - x} & {\left( {0 \le x \le 1} \right)} \cr {x - 1} & {\left( {1 \le x \le 2} \right)} } } \right.\)는 임의의 실수 \(x\)에 대하여 항상 \(f(x+2)=f(x)\)를 만족시킨다. 이 때, \( \displaystyle \int_0^2\) \( {xf\left( {x + 1} \right)dx} \)의 값은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ①

연속함수 \(f(x)\)가 \(|x|>1\)일 때, \(f~'(x)=4x^3 , ~ |x|

오른쪽 그림과 같이 길이가 \(10\)인 선분 \(\rm AB\) 위에 동점 \(\rm P\)가 있을 때, 선분 \(\rm AP,\;BP\)를 지름으로 하는 두 원의 넓이의 합을 \(S\)라 하자. 점 \(\rm P\)가 점 \(\rm A\)에서 출발하여 점 \(\rm B\)를 향해 매초 \(1\)의 속도로 움직이면 출발한 후 \(6\)초일 때, \(S\)의 순간변화율은? ① \(2\pi\) ② \(\pi\) ③ \(\dfrac{\pi}{2}\) ④ \(-\pi\) ⑤ \(-2\pi\) 정답 ②

오른쪽 그림은 수직선 위를 움직이는 점 \(\rm P\)의 시각 \(t\)에서의 속도 \(v(t)\)를 나타내는 그래프이다. \(v(t)\)는 \(t=2\)를 제외한 구간 \((0,\;3)\)에서 미분가능한 함수이고, \(v(t)\)의 그래프는 구간 \((0,\;1)\)에서 원점과 점 \((1,\;k)\)를 잇는 직선과 한 점에서 만난다. 점 \(\rm P\)의 시각 \(t\)에서의 가속도 \(a(t)\)를 나타내는 그래프의 개형으로 가장 알맞은 것은? 정답 ②

둘레의 길이가 \(200\rm m\)인 육상 트랙을 따라 갑, 을 두 사람이 같은 지점에서 출발하여 서로 같은 방향으로 달려가고 있다. 출발한 후 \(t\)분 동안 갑, 을이 움직인 거리가 각각 \(t^3 +t \;(\rm m)\), \({\dfrac{3}{2}}t^2 +7t\;(\rm m)\)일 때, 출발한 후 \(10\)분 동안 두 사람이 만나는 횟수를 구하시오. 정답 4번

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\rm P\) 의 시각 \(t\) 에서의 위치가 \(f(t)=2t^3 -9t^2 +12t\) 일 때, 다음 중 출발할 때의 운동 방향과 반대 방향으로 점 \(\rm P\) 가 움직인 거리를 나타내는 것은? ① \(f(1)-f(2)\) ② \(f(2)-f(1)\) ③ \(f(1)\) ④ \(f(2)\) ⑤ \(f(1)+f(2)\) 정답 ①

함수 \(y=x^3 +ax\)의 그래프를 원점을 중심으로 양의 방향으로 \(45^o\) 회전시켜 얻은 곡선이 실수 전체에서 정의된 어떤 함수 \(y=f(x)\)의 그래프가 되는 실수 \(a\)의 값의 범위는? ① \(a\ge 1\) ② \(a\ge 0 \) ③ \(a\le 1\) ④ \(a\le -1\) ⑤ \(0\le a \le 2 \) 정답 ①