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목록기하 - 문제풀이 (187)
수악중독
[그림 1]과 같이 $\overline{\rm AB}=3, \; \overline{\rm AD}=2\sqrt{7}$ 인 직사각형 $\rm ABCD$ 모양의 종이가 있다. 선분 $\rm AD$ 의 중점을 $\rm M$ 이라 하자. 두 선분 $\rm BM, \; CM$ 을 접는 선으로 하여 [그림 2]와 같이 두 점 $\rm A, \; D$ 가 한 점 $\rm P$ 에서 만나도록 종이를 접었을 때, 평면 $\rm PMB$ 과 평면 $\rm BCM$ 이 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라 하자. $\cos \theta$ 의 값은? (단, 종이의 두께는 고려하지 않는다.) ① $\dfrac{17}{27}$ ② $\dfrac{2}{3}$ ③ $\dfrac{19}{27}$ ④ $\dfrac{20}{27}$ ⑤ ..
그림과 같이 평면 $\alpha$ 위에 있는 서로 다른 두 점 $\rm A, \; B$ 와 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 서로 다른 네 점 $\rm C, \; D, \; E, \; F$ 가 있다. 사각형 $\rm ABCD$ 는 한 변의 길이가 $6$ 인 정사각형이고 사각형 $\rm ABEF$ 는 $\overline{\rm AF}=12$ 인 직사각형이다. 정사각형 $\rm ABCD$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 넓이는 $18$ 이고, 점 $\rm F$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영을 $\rm H$ 라 하면 $\overline{\rm FH}=6$ 이다. 정사각형 $\rm ABCD$ 의 평면 $\rm ABEF$ 위로의 정사영의 넓이는? (단, $0
그림과 같이 좌표평면에서 포물선 $y^2=4x$ 의 초점 $\rm F$ 를 지나고 $x$ 축과 수직인 직선 $l_1$ 이 이 포물선과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 $\rm A, B$ 라 하고, 점 $\rm F$ 를 지나고 기울기가 $m\ (m>0)$ 인 직선 $l_2$ 가 이 포물선과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 $\rm C, \; D$ 라 하자. 삼각형 $\rm FCA$ 의 넓이가 삼각형 $\rm FDB$ 넓이의 $5$ 배일 때, $m$ 의 값은? (단, 두 점 $\rm A, \; C$ 는 제$1$사분면 위의 점이고, 두 점 $\rm B, \; D$ 는 제$4$사분면 위의 점이다. ) ① $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ② $1$ ③ $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ ④ $\dfra..
평면 위에 $$\overline{\rm OA}=2+2\sqrt{3},\;\overline{\rm AB}=4,\;\angle{\rm COA}=\dfrac{\pi}{3}, \angle{\rm A}=\angle{\rm B}=\dfrac{\pi}{2}$$ 를 만족시키는 사다리꼴 $\rm OABC$ 가 있다. 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 원 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm OC}\cdot\overrightarrow{\rm OP}$ 의 값이 최대가 되도록 하는 점 $\rm P$ 를 $\rm Q$ 라 할 때, 직선 $\rm OQ$ 가 원과 만나는 점 중 $\rm Q$ 가 아닌 점을 $\rm D$ 라 하자. 원 위의 점 $\rm R$ 에 대하여 $\overrightar..
두 초점이 $\rm F, \; F'$ 이고 장축의 길이가 $2a$ 인 타원이 있다. 이 타원의 한 꼭짓점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$ 인 원이 이 타원의 서로 다른 두 꼭짓점과 한 초점을 지날 때, 상수 $a$ 의 값은? ① $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ② $\dfrac{\sqrt{6}-1}{2}$ ③ $\sqrt{3}-1$ ④ $2\sqrt{2}-2$ ⑤ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 더보기 정답 ③
포물선 $y^2=8x$ 와 직선 $y=2x-4$ 가 만나는 점 중 제$1$사분면 위에 있는 점을 $\rm A$ 라 하자. 양수 $a$ 에 대하여 포물선 $(y-2a)^2=8(x-a)$ 가 점 $\rm A$ 를 지날 때, 직선 $y=2x-4$ 와 포물선 $(y-2a)^2=8(x-a)$ 가 만나는 점 중 점 $\rm A$ 가 아닌 점을 $\rm B$ 라 하자. 두 점 $ \rm A, \; B$ 에서 직선 $x=-2$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\rm C, \; D$ 라 할 때, $\overline{\rm AC} + \overline{\rm BD}-\overline{\rm AB} = k$ 이다. $k^2$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $80$
좌표평면 위에 네 점 ${\rm A}(2, \; 0), \; {\rm B}(0, \; 2), \; {\rm C}(-2, \; 0), \; {\rm D}(0, \; -2)$ 를 꼭짓점으로 하는 정사각형 $\rm ABCD$ 의 네 변 위의 두 점 $\rm P, \; Q$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\left ( \overrightarrow{\rm PQ} \cdot \overrightarrow{\rm AB} \right ) \left ( \overrightarrow{\rm PQ} \cdot \overrightarrow{\rm AD} \right ) = 0$ (나) $\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OP} \ge -2$ 이고 $\overrigh..
좌표평면에서 두 점 ${\rm F} \left ( \dfrac{9}{4}, \; 0 \right ), \; {\rm F'} (-c, \; 0) \;\; (c>0)$ 을 초점으로 하는 타원과 포물선 $y^2=9x$ 가 제 $1$ 사분면에서 만나는 점을 $\rm P$ 라 하자. $\overline{\rm PF}=\dfrac{25}{4}$ 이고 포물선 $y^2=9x$ 위의 점 $\rm P$ 에서의 접선이 점 $\rm F'$ 을 지날 때, 타원의 단축의 길이는? ① $13$ ② $\dfrac{27}{2}$ ③ $14$ ④ $\dfrac{29}{2}$ ⑤ $15$ 더보기 정답 ⑤
좌표평면 위에 네 점 ${\rm A}(-2, \; 0)$, ${\rm B}(1, \; 0)$, ${\rm C}(2, \; 1)$, ${\rm D}(0, \; 1)$ 이 있다. 반원의 호 $(x+1)^2 +y^2=1 \;\; (0 \le y\le 1)$ 위를 움직이는 점 $\rm P$ 와 삼각형 $\rm BCD$ 위를 움직이는 점 $\rm Q$ 에 대하셔 $\left | \overrightarrow{\rm OP} + \overrightarrow{\rm AQ} \right |$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 하자. $M^2+m^2=p+2\sqrt{q}$ 일 때, $p \times q$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이고, $p$ 와 $q$ 는 유리수이다.) 더보기 정답 $115$
그림과 같이 두 초점이 ${\rm F}(c, \; 0), \; {\rm F'}(-c, \; 0)\;\;(c>0)$ 인 타원 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{7}=1$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 직선 $\rm FP$ 와 직선 $\rm F'P$ 에 동시에 접하고 중심이 선분 $\rm F'F$ 위에 있는 원 $C$ 가 있다. 원 $C$ 의 중심을 $\rm C$, 직선 $\rm F'P$ 가 원 $C$ 와 만나는 점을 $\rm Q$ 라 할 때, $2\overline{\rm PQ}=\overline{\rm PF}$ 이다. $24 \times \overline{\rm CP}$ 의 값을 구하시오. (단, 점 $\rm P$ 는 제$1$사분면 위의 점이다.) 더보기 정답 $63$