수악중독

모든 실수 \(x\) 에 대하여 함수 \(f(x)\) 는 \(f(x)=f(x+2)\) 를 를 만족시키고, \(-1 \leq x \leq 1\) 에서 다음과 같이 정의된다. \[ f(x)=30x^2+15\] 이때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} f \left ( 10+ \dfrac{2k}{n} \right )\) 의 값을 구하시오. 정답 \(25\)

\(\lim \limits_{n \to \infty} \left \{ \dfrac{(n+1)^4}{n^5}+\dfrac{(n+2)^4}{n^5}+\dfrac{(n+3)^4}{n^5}+\cdots +\dfrac{(n+n)^4}{n^5} \right \} = \dfrac{q}{p}\) 일 때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p,\;q\) 는 서로소인 자연수) 정답 \(36\)

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 \(\rm P, \;Q\) 의 시각 \(t \;(0 \leq t \leq 8)\) 에서의 속도가 각각 \(2t^2-8t,\;\; t^3-10t^2+24t\) 이다. 두 점 \(\rm P, \;Q\) 사이의 거리의 최댓값을 구하시오. 정답 \(64\)

그림과 같이 삼차함수 \(y=f(x)\) 가 \(f(-1)=f(1)=f(2)=0,\; f(0)=2\) 를 만족시킬 때, \(\displaystyle \int_0^2 f'(x) dx\) 의 값은? ① \(-2\) ② \(-1\) ③ \(0\) ④ \(1\) ⑤ \(2\) 정답 ①

삼차함수 \(f(x)=x^3-3x-1\) 이 있다. 실수 \(t\; (t \geq -1)\) 에 대하여 \(-1 \leq x \leq t\) 에서 \(\left | f(x) \right |\) 의 최댓값을 \(g(t)\) 라고 하자. \(\displaystyle \int_{-1}^{1} g(t) dt = \dfrac{q}{p}\) 일 때, \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p,\;q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \(17\)

함수 \(f(x)\) 는 다음 두 조건을 만족한다. (가) \(-2 \leq x \leq 2\) 일 때, \(f(x)=x^3-4x\) (나) 임의의 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(x)=f(x+4)\) 정적분 \(\displaystyle \int_{1}^{2} f(x) dx\) 와 같은 것은? ① \(\displaystyle \int_{2004}^{2005} f(x) dx\) ② \(-\displaystyle \int_{2004}^{2005} f(x) dx\) ③ \(\displaystyle \int_{2005}^{2006} f(x) dx\) ④ \(-\displaystyle \int_{2005}^{2006} f(x) dx\) ⑤ \(\displaystyle \int_{2006}^{2007} f(x) ..

다항함수 \(f(x)\) 에 대하여 \[\displaystyle \int_{0}^{x} f(t) dt= x^3 -2x^2 -2x \int_{0}^{1} f(t) dt\] 일 때, \(f(0)=a\) 라 하자. \(60a\) 의 값을 구하시오. 정답 \(40\)

\(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\left \{ 2^2+4^2+6^2+\cdots+(2n)^2 \right \} \left \{ 2^3+4^3+6^3+\cdots+(2n)^3 \right \}}{2^6+4^6+6^6+\cdots+(2n)^6}\) 의 값은? ① \(\dfrac{5}{24}\) ② \(\dfrac{1}{4}\) ③ \(\dfrac{7}{24}\) ④ \(\dfrac{1}{3}\) ⑤ \(\dfrac{3}{8}\) 정답 ③

실수 전체의 집합에서 연속이고 \(f(0)=0\) 인 함수 \(y=f(x)\) 의 도함수 \(f'(x)\) 가 \(f'(x)=|x|\) 이다. 함수 \(y=g(x)\) 의 그래프는 다음과 같다. 옳은 것만을 에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. \(\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x}=0\) ㄴ. \(\lim \limits_{x \to \sqrt{2}} g \{f(x)\}=1\) ㄷ. 합성함수 \(y=g \{g(x) \}\) 는 \(x=1\) 에서 연속이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

함수 \(f(x)=x^3 +3x^2 -2x-1\) 에 대하여 \(\lim \limits_{x \to 2} \dfrac{1}{x-2} \displaystyle \int_2^x f(t) dt\) 의 값은? ① \(7\) ② \(9\) ③ \(11\) ④ \(13\) ⑤ \(15\) 정답 ⑤