수악중독

다음 조건을 만족시키는 $100$ 이하의 자연수 $n$ 의 개수를 구하시오. (가) $30 \le a \le 40$ 인 모든 실수 $a$ 에 대하여 $\sum \limits_{k=1}^{n} k(k-a) \le 0$ 이다.(나) $4 \le b \le 10$ 인 어떤 실수 $b$ 에 대하여 $\displaystyle \int_b^n (x-b)(x-3b) dx \ge 0$ 이다. 정답 $36$

함수 $f(x)=4x^2+6x+32$ 에 대하여 $$\lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k=1}^n \dfrac{k}{n^2} f \left ( \dfrac{k}{n} \right )$$ 의 값을 구하시오. 정답 $19$

구간 $[0, \;8]$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 는 \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{ - x\left( {x - 4} \right)}&{(0 \le x < 4)}\\{x - 4}&{\left( {4 \le x \le 8} \right)}\end{array}} \right.\] 이다. 실수 $a \; (0 \le a \le 4)$ 에 대하여 $\displaystyle \int_a^{a+4} f(x)dx$ 의 최솟값은 $\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $43$

삼차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\dfrac{f(2)}{f'(2)}$ 의 값은? (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)+f(-x)=0$ 이다.(나) $\displaystyle \int_0^1 f'(x) dx = \int_{-2}^2 f'(x) dx$ ① $-\dfrac{1}{7}$ ② $-\dfrac{2}{7}$ ③ $-\dfrac{3}{7}$ ④ $-\dfrac{4}{7}$ ⑤ $-\dfrac{5}{7}$ 정답 ②

$f(1)=1$ 인 이차함수 $f(x)$ 와 함수 $g(x)=x^2$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(-x)=f(x)$ 이다.(나) $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^n \left \{ f \left ( \dfrac{k}{n} \right ) - g \left ( \dfrac{k}{n} \right ) \right \} = 27$ 두 곡선 $y=f(x)$ 와 $y=g(x)$ 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. 정답 $54$

다항함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x^4}=1$(나) $f(1)=f'(1)=1$ $-1 \le n \le 4$ 인 정수 $n$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=f(x-n)+n \; (n \le x < n+1)$$ 이라 하자. 함수 $g(x)$ 가 열린구간 $(-1, \;5)$ 에서 미분가능할 때, $\displaystyle \int_0^4 g(x)dx=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \;q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $137$

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(f(1)=2\)(나) \(\displaystyle \int _0 ^1 (x-1) f'(x+1) dx = -4\) \(\displaystyle \int _1 ^2 f(x) dx\) 의 값을 구하시오. (단, \(f'(x)\) 는 연속함수이다.) 정답 \(6\)

최고차항의 계수가 \(1\) 이고 다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수 \(f(x)\) 에 대하여 \(\displaystyle \int_0^3 f(x) dx\) 의 최솟값을 \(m\) 이라 할 때, \(4m\) 의 값을 구하시오. (가) \(f(0)=0\)(나) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f'(2-x)=f'(2+x)\) 이다.(다) 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f'(x) \ge -3\) 이다. 정답 \(27\)

함수 \(y=f(x)\) 의 그래프가 그림과 같다. \(\displaystyle \int_{-2}^{2} \left ( x^3 +6x^2+2x \right ) f(x) dx\) 의 값을 구하시오. 정답 \(31\)

곡선 \(y=ax|x|-ax \; (a>0)\) 와 \(x\) 축ㅇ로 둘러싸인 도형의 넓이가 \(1\) 일 때, \(a\) 의 값은? ① \(3\) ② \(4\) ③ \(5\) ④ \(6\) ⑤ \(7\) 정답 ①