수악중독

그림과 같이 곡선 \(y=-x^2+1\) 위에 세 점 \(\rm A(-1,\;0),\; \rm B(1,\;0),\; \rm C(0,\;1)\) 이 있다. \(2\) 이상의 자연수 \(n\) 에 대하여 선분 \(\rm OC\) 를 \(n\) 등분할 때, 양 끝점을 포함한 각 분점을 차례로 \(\rm O= D_0,\; D_1,\; D_2,\; \cdots,\; D_{{\it n}-1},\; \rm D_{\it n} = \rm C\) 라 하자. 직선 \(\rm AD_{\it k}\) 가 곡선과 만나는 점 중 \(\rm A\) 가 아닌 점을 \({\rm P}_k\) 라 하고, 점 \(\rm P_{\it k}\) 에서 \(x\) 축에 내린 수선의 발을 \({\rm Q}_k\) 라 하자. \((k=1,\;2,\;\..

모든 실수에서 미분가능한 함수 \(f(x)\) 가 구간 \([-1,\;1]\) 에서 \(f(x)=x^2\) 으로 정의되고, \(f'(x)\) 는 다음 두 조건을 만족한다. (가) \(f'(x+4)=f'(x)\) (나) \(f'(2-x)=f'(x)\) 이때, \(\displaystyle \int_0^{10} f(x) dx\) 의 값을 구하시오. 정답 \(10\)

함수 \(f(x)\) 가 \(n-1 \leq x

다음 그림은 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\rm P\) 의 시각 \(t \;(0 \leq t \leq c)\) 에서의 속도 \(v(t)\) 를 나타내는 그래프이다. \[\displaystyle \int _0^b v(t) dt

그림과 같이 직선 \(y=-2x+4\) 가 \(x\) 축, \(y\) 축과 만나는 점을 각각 \(\rm A, \; B\) 라 하자. 선분 \(\rm AB\) 를 \(n\) 등분한 점을 점 \(\rm B\) 에서 가까운 순서대로 \(\rm P_1 ,\; P_2 , \; P_3 ,\; \cdots, \; P_{{\it n}-1}\) 이라고 하고, 점 \({\rm P}_k \;(k=1,\;2,\;3,\; \cdots,\; n-1)\) 을 지나고 \(y\) 축에 평행한 직선과 직선 \(y=-x+2\) 가 만나는 점을 \(\rm Q_{\it k}\) 라 하자. 삼각형 \(\rm BP_{\it k} Q_{\it k}\) 의 넓이를 \(S_k\) 라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \s..

\(x \geq 0\) 에서 정의된 삼차함수 \(f(x)\) 는 \(f(0)=0\) 이고, \(x>0\) 인 모든 실수 \(x\) 에서 \(f'(x) \geq 0\) 을 만족시킨다. 함수 \(f(x)\) 의 역함수 \(g(x)\) 에 대하여 함수 \(h(x)\) 를 \[h(x)=\displaystyle \int _0 ^x \left \{ f(t)-g(t) \right \} dt \;\; (x \geq 0) \] 이라 하면 \(y=h(x)\) 의 그래프는 그림과 같다. \(h(x)\) 가 \(x=6\) 일 때 극댓값 \(12\) 를 가지고, \(x=10\) 일 때 극솟값 \(4\) 를 가진다고 할 때, \(\displaystyle \int _0 ^{10} g(t) dt\) 의 값은? ① \(40\) ② \..

원점에서 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 무레 \(\rm A,\; B\) 의 시각 \(t\) 에서의 속도는 각각 \(2t^2 -23t +48 ,\;\; -t^2 +7t\) 이다. \(0 \leq t \leq 10\) 일 때, 두 물체 \(\rm A\) 와 \(\rm B\) 사이의 거리의 최댓값을 구하시오. 정답 64

다음 중 \(\lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k=1}^{n} \left ( 1+ \dfrac{2k}{n} \right ) ^3 \cdot \dfrac{3}{n}\) 의 값과 같은 것은? ① \(\displaystyle \int _0 ^1 (1+2x)^3 dx\) ② \(\dfrac{2}{3} \displaystyle \int _0 ^2 (1+x)^3 dx\) ③ \(\dfrac{3}{2} \displaystyle \int _1 ^3 x^3 dx\) ④ \(2 \displaystyle \int _0 ^1 (1+x)^3 dx\) ⑤ \(3 \displaystyle \int _0 ^2 (1+2x)^3 dx\) 정답 ③

제 \(1\) 사분면에 속하고 곡선 \(y=x^2\) 위에 있는 임의의 점 \({\rm P}(x, \;y)\) 에서 \(x\) 축에 평행인 직선과 \(y\) 축에 평행인 직선을 오른쪽 그림과 같이 그었다. 이 두 직선과 곡선 \(y=\dfrac{1}{2}x^2\), \(y=ax^2\) \((a>0)\) 에 의해 둘러싸인 부분의 넓이를 곡선 \(y=x^2\) 이 이등분할 때, \(a\) 의 값을 구하여라. 정답 \(\dfrac{16}{9}\)

함수 \(f(x)=ax+2\;\;(a>0)\) 가 극한값 \[\lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k=1}^{n} f \left ( \dfrac{k}{n} \right ) \dfrac{1}{n} + \lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k=1}^{n} \left \{ f \left ( \dfrac{k}{n} \right ) - f \left ( \dfrac{k-1}{n} \right ) \right \}\cdot \dfrac{k-1}{n}=5\] 을 만족시킬 때, \(10a\) 의 값을 구하시오. 정답 \(30\)