(이과) 공간도형 및 공간좌표_난이도 중

다음 그림과 같이 $z$ 축 위의 점 $\rm A(0, \; 0,\; 4)$ 에서 $xy$ 평면 위의 직선 $x=3$ 위의 점 $\rm P$ 를 거쳐 점 $\rm B(5, \; 4, \;0)$ 까지 이르는 거리의 최솟값을 $k$ 라고 할 때, $k^2$ 의 값을 구하시오.

정답  $65$

만약 점 $\rm A$ 가 $xy$ 평면 위의 점이었다면 쉽게 최단 거리를 구할 수 있을 것입니다. 그래서 생각해 볼 수 있는 것이 원뿔에서 모선의 길이는 항상 같다를 이용하여 점 $\rm A$ 를 $xy$ 평면으로 옮기는 것입니다. 그럼 어떻게 원뿔을 그려야 할까를 생각해보면, 아래 그림처럼 점 $(3, \; 0, \; 0)$ 을 중심으로 하고, 반지름의 길이는 $5$ 이면서 (중심에서 점 $\rm A$ 까지의 거리가 $5$ 입니다.) $zx$ 평면 위에 놓이는 원을 밑면으로 하고, 꼭짓점이 점 $\rm P$ 인 원뿔을 그립니다.

그러면 이 원뿔의 밑면이 $xy$ 평면과 만나는 점이 $\rm M(-2, \;0, \; 0), \; \rm N(8, \;0, \; 0)$의 두 개가 생기는 것을 볼 수 있습니다. 말씀드렸듯이 원뿔의 모선의 길이는 모두 같기 때문에 점 $\rm P$ 의 위치에 관계없이 $$\overline{\rm PA}= \overline{\rm PM}=\overline{\rm PN}$$ 가 됩니다. 따라서 $\overline{\rm PA}+\overline{\rm PB}$ 는 $\overline{\rm PM}+\overline{\rm PB}$ 혹은 $\overline{\rm PN}+\overline{\rm PB}$ 로 생각하셔도 됩니다. 그런데 점 $\rm N$ 의 경우 $xy$ 평면 위의 직선 $x=3$ 에 대하여 점 $\rm B$ 와 같은 영역에 속하므로 결국 이를 $x=3$ 에 대칭이동하여 최단거리를 생각해야 하기 때문에 결국은 점 $\rm M$ 을 기준으로 생각하는 것이 맞고, $\overline{\rm PM}+\overline{\rm PB}$ 의 최단거리는 곧 점 $\rm M$ 에서 점 $\rm B$ 까지의 직선거리와 같아집니다. 이때, 선분 $\rm MB$ 가 직선 $x=3$ 과 만나는 교점이 $\overline{\rm PA}+\overline{\rm PB}$ 가 최소일 때의 점 $\rm P$ 의 위치가 되는 것입니다.

따라서 정답은 $$\sqrt{(5-(-2))^2+4^2+0^2}=\sqrt{65}$$ 가 됩니다.