수악중독

그림과 같이 한 변의 길이가 $20$ 인 정삼각형 $\rm ABC$ 에 대하여 변 $\rm AB$ 위의 점 $\rm D$, 변 $\rm AC$ 위의 점 $\rm G$, 변 $\rm BC$ 위의 두 점 $\rm E, \; F$ 를 꼭짓점으로 하는 직사각형 $\rm DEFG$ 가 있다. 직사각형 $\rm DEFG$ 의 넓이가 최대일 때, 삼각형 $\rm DBE$ 에 내접하는 원의 둘레의 길이는 $\left (p\sqrt{3}+q \right )\pi$ 이다. $p^2+q^2$ 의 값은? (단, $p, \; q$ 는 유리수이다.) ① $10$ ② $20$ ③ $30$ ④ $40$ ⑤ $50$ 더보기 정답 ⑤

이차함수 $f(x)=x^2-x+k$ 의 그래프와 직선 $y=x+1$ 이 두 점에서 만날 때, 그 교점의 $x$ 좌표를 각각 $\alpha, \; \beta \; (\alpha < \beta)$ 라 하자. 세 점 ${\rm A}(\alpha, \; f(\alpha))$, ${\rm B}(\beta, \; f(\alpha))$, ${\rm C}(\beta, \; f(\beta))$ 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\rm ABC$ 의 넓이가 $8$ 일 때, $f(6)$ 의 값은? (단, $k$ 는 상수이다.) ① $28$ ② $29$ ③ $30$ ④ $31$ ⑤ $32$ 더보기 정답 ①

최고차항의 계수가 $1$ 인 사차다항식 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, 양수 $p$ 의 값은? (가) $f(x)$ 를 $x+2, \; x^2+4$ 로 나눈 나머지는 모두 $3p^2$ 이다. (나) $f(1)=f(-1)$ (다) $x-\sqrt{p}$ 는 $f(x)$ 의 인수이다. ① $\dfrac{1}{2}$ ② $1$ ③ $\dfrac{3}{2}$ ④ $2$ ⑤ $\dfrac{5}{2}$ 더보기 정답 ④

$x$ 에 대한 이차방정식 $f(x)=0$ 의 두 근의 합이 $16$ 일 때, $x$ 에 대한 이차방정식 $f(2020-8x)=0$ 의 두 근의 합을 구하시오. 더보기 정답 $503$

두 양수 $p, \; q$ 에 대하여 이차함수 $f(x)=-x^2+px-q$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $p^2+q^2$ 의 값을 구하시오. (가) $y=f(x)$ 의 그래프는 $x$ 축에 접한다. (나) $-p \le x \le p$ 에서 $f(x)$ 의 최솟값은 $-54$ 이다. 더보기 정답 $60$

좌표평면 위에 점 ${\rm A}(0, \;1)$ 과 직선 $l:y=-x+2$ 가 있다. 직선 $l$ 위의 제$1$사분면 위의 점 ${\rm B}(a, \; b)$ 와 $x$ 축 위의 점 $\rm C$ 에 대하여 $\overline{\rm AC} + \overline{\rm BC}$ 의 값이 최소일 때, $a^2+b^2$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{2}$ ② $1$ ③ $\dfrac{3}{2}$ ④ $2$ ⑤ $\dfrac{5}{2}$ 더보기 정답 ⑤

일차식 $f(x)$ 에 대하여 다항식 $x^3+1-f(x)$ 가 $(x+1)(x+a)^2$ 으로 인수분해될 때, $f(7)$ 의 값은? (단, $a$ 는 상수이다.) ① $2$ ② $4$ ③ $6$ ④ $8$ ⑤ $10$ 더보기 정답 ③

두 양수 $a, \; b$ 에 대하여 좌표평면 위의 점 ${\rm P}(a, \; b)$ 를 지나고 직선 $\rm OP$ 에 수직인 직선이 $y$ 축과 만나는 점을 $\rm Q$ 라 하자. 점 ${\rm R} \left (-\dfrac{1}{a}, \; 0 \right )$ 에 대하여 삼각형 $\rm OQR$ 의 넓이의 최솟값은? (단 $\rm O$ 는 원점이다.) ① $\dfrac{1}{2}$ ② $1$ ③ $\dfrac{3}{2}$ ④ $2$ ⑤ $\dfrac{5}{2}$ 더보기 정답 ②

좌표평면 위에 원 $C:x^2+y^2=r^2 \; (r>0)$ 과 직선 $l:2x-2y+\sqrt{6}r=0$ 이 있다. 원 $C$ 와 직선 $l$ 이 만나는 두 점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 할 때, 호 $\rm AB$ 와 선분 $\rm AB$ 로 둘러싸인 부분 중에서 원점 $\rm O$ 를 포함하지 않는 부분의 넓이를 $S(r)$ 라 하자. 다음은 $S(r)$ 를 구하는 과정이다. 점 $\rm O$ 에서 직선 $l$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하면 선분 $\rm OH$ 의 길이는 점 $\rm O$ 와 직선 $l$ 사이의 거리이므로 $\overline{\rm OH}=\boxed{ (가) }$ 삼각형 $\rm OAB$ 에서 $\overline{\rm OA}=r$ 이므로 삼각형 $\r..

좌표평면 위에 두 점 $\rm A(2, \; 0), \; B(0, \; 6)$ 이 있다. 다음 조건을 만족시키는 두 직선 $l, \; m$ 의 기울기의 합의 최댓값은? (단 $\rm O$ 는 원점이다.) (가) 직선 $l$ 은 점 $\rm O$ 를 지난다. (나) 두 직선 $l$ 과 $m$ 은 선분 $\rm AB$ 위의 점 $\rm P$ 에서 만난다. (다) 두 직선 $l$ 과 $m$ 은 삼각형 $\rm OAB$ 의 넓이를 삼등분한다. ① $\dfrac{3}{4}$ ② $\dfrac{4}{5}$ ③ $\dfrac{5}{6}$ ④ $\dfrac{6}{7}$ ⑤ $\dfrac{7}{8}$ 더보기 정답 ①