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목록2017/06 (38)
수악중독
최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 와 함수 $g(x)=f(x)e^{-f(x)}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 세 집합 $A=\{ t \; | \; f'(t)=0 \}$ $B=\{ t \; | \;$ 함수 $g(x)$ 는 $x=t \; (t -1)$ 에서 극값을 갖는다.$\}$ 에 대하여 $n(A \cap B) = n(A \cap C) = n(B) = n(C)-1$ 이며, 집합 $C$ 의 모든 원소가 자연수이고 그 합은 $5$ 이다. $f(-9)$ 의 값을 구하시오. 정답 $14$
구면 코사인 법칙 그림과 같이 중심이 $\rm O$ 인 구면 위의 세 점 $\rm A, \; B\; C$ 에 대하여 부채꼴 $\rm OBC$ 의 중심각의 크기를 $a$, 부채꼴 $\rm OAC$ 의 중심각의 크기를 $b$, 부채꼴 $\rm OAB$ 의 중심각의 크기를 $a$ 라 하자. 또한 점 $\rm A$ 에서 호 $\rm AB$, $\rm AC$ 에 접하는 접선이 $\rm OB, \; OC$ 의 연장선과 만나는 점을 각각 $\rm B', \; C'$ 라고 하면 다음이 성립한다. $$\cos a = \cos c \cdot \cos b + \sin c \cdot \sin b \cdot \cos A$$
최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 에 대하여 $$F(x) = \ln |f(x)|$$라 하고, 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $g(x)$ 에 대하여 $$G(x) = \ln |g(x) \sin x|$$라 하자.$$\lim \limits_{x \to 1} (x-1) F'(x)=3, \;\; \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{F'(x)}{G'(x)} = \dfrac{1}{4}$$일 때, $f(3)+g(3)$ 의 값은? ① $57$ ② $55$ ③ $53$ ④ $51$ ⑤ $49$ 정답 ④
좌표평면에서 중심이 $\rm O$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원 위의 한 점을 $\rm A$, 중심이 $\rm O$ 이고 반지름의 길이가 $3$ 인 원 위의 한 점을 $\rm B$ 라 할 때, 점 $\rm P$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overrightarrow{\rm OB} \cdot \overrightarrow{\rm OP} = 3 \overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OP}$ (나) $\left | \overrightarrow{\rm PA} \right |^2 + \left | \overrightarrow{\rm PB} \right |^2 = 20$ $\overrightarrow{\rm PA} \cdot \overrightarr..
실수 $a$ 와 함수 $f(x)=\ln \left ( x^4+1\right ) -c$ ($c>0$인 상수) 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\; dt$$ 라 하자. 함수 $y=g(x)$ 의 그래프가 $x$ 축과 만나는 서로 다른 점의 개수가 $2$ 가 되도록 하는 모든 $a$ 의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열하면 $\alpha_1, \;\alpha_2, \; \cdots, \; \alpha_m$ ($m$ 은 자연수)이다. $a=\alpha_1$ 일 때 함수 $g(x)$ 와 상수 $k$ 는 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$ 는 $x=1$ 에서 극솟값을 갖는다.(나) $\displaystyle \int_{\alpha_1}^{\a..
함수$$f(x) = \dfrac{k}{x-11}+6 \; \;(k \ge 36)$$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 $k$ 의 개수는? $|f(x)| \le y \le -x+5$ 인 두 자연수 $x, \; y$ 의 모든 순서쌍 $(x, \; y)$ 의 개수는 $2$ 이상 $4$ 이하이다. ① $18$ ② $21$ ③ $24$ ④ $27$ ⑤ $30$ 정답 ①
공차가 $0$ 이 아닌 등차수열 $\{ a_n \}$ 이 있다. 수열 $\{b_n \}$ 은 $$b_1=a_1$$이고, $2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 $$b_n = \begin{cases}b_{n-1}+a_n & (n이 \; 3의 \; 배수가 \; 아닌\; 경우) \\ b_{n-1}-a_n & (n이 \; 3의\; 배수인 \; 경우) \end{cases}$$이다. $b_{10} = a_{10}$ 일 때, $\dfrac{b_8}{b_{10}}= \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $13$
최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 와 최고차항의 계수가 $2$ 인 이차함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(\alpha) = g(\alpha)$ 이고 $f'(\alpha)=g'(\alpha)=-16$ 인 실수 $\alpha$ 가 존재한다.(나) $f'(\beta) = g'(\beta)=16$ 인 실수 $\beta$ 가 존재한다. $g(\beta+1) - f(\beta+1)$ 의 값을 구하시오. 정답 $243$