수악중독

두 함수 $$ f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{ll}{{x^2} + 2ax + 6}&{\left( {x < 0} \right)}\\{x + 6}&{\left( {x \ge 0} \right)}\end{array},\;\;g\left( x \right) = x + 10} \right.$$ 에 대하여 합성합수 $(g \circ f)(x)$ 의 치역이 $\{y\;|\;y \ge 0\} $ 일 때, 상수 $ a$ 의 값을 구하시오. 정답 $4$

전체집합 $U=\{x \; | \; x는 \; 8 \; 이하의 \; 자연수\}$ 에 대하여 조건 '$p:x^2 \le 2x+8$' 의 진리집합을 $P$, 두 조건 $q, \; r$ 의 진리집합을 각각 $Q, \;R$ 라 하자. 두 명제 $p \rightarrow q$ 와 $\sim p \rightarrow r$ 가 모두 참일 때, 두 집합 $Q, \; R$ 의 순서쌍 $(Q, \;R)$ 의 개수를 구하시오. 정답 $256$

자연수 $n$ 에 대하여 곡선 $ y=x^2 - \left (4 + \dfrac{1}{n} \right ) x + \dfrac{4}{n}$ 와 직선 $y=\dfrac{1}{n}x+1$ 이 만나는 두 점을 각각 ${\rm P}_n, \; {\rm Q}_n$ 이라 하자. 삼각형 ${\rm OP}_n{\rm Q}_n$ 의 무게중심의 $y$ 좌표를 $a_n$ 이라 할 때, $ 30 \lim \limits_{n \to \infty} a_n$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 정답 $20$

수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 집합 $$A=\{x\; | \; x^2-1

자연수 $n$ 에 대하여 $$\left | \left ( n+ \dfrac{1}{2} \right )^2-m \right | < \dfrac{1}{2} $$ 을 만족시키는 자연수 $m$ 을 $a_n$ 이라 하자. $\sum \limits_{k=1}^5 a_k$ 의 값은? ① $65$ ② $70$ ③ $75$ ④ $80$ ⑤ $85$ 정답 ②

이차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $f(0)=f(2)=0$(나) 이차방정식 $f(x)-6(x-2)=0$ 의 실근의 개수는 $1$ 이다. 방정식 $(f \circ f)(x)=-3$ 의 서로 다른 실근을 모두 곱한 값은? ① $-\dfrac{1}{3}$ ② $-\dfrac{2}{3}$ ③ $-1$ ④ $-\dfrac{4}{3}$ ⑤ $-\dfrac{5}{3}$ 정답 ①

한 변의 길이가 $4$ 인 정사각형이 있다. 그림과 같이 지름이 $2$ 인 두 원이 서로 한 점 $\rm P_1$ 에서 만나고 정사각형의 두 변에 각각 접하도록 그린다. 정사각형의 네 변 중 원과 접하지 않는 변의 중점을 $\rm Q_1$ 이라 하고, 선분 $\rm P_1Q_1$ 을 대각선으로 하는 정사각형 $R_1$ 을 그린다. 이때, $R_1$ 의 한 변의 길이를 $l_1$ 이라 하자.지름이 $\dfrac{l_1}{2}$ 인 두 원이 서로 한 점 $ \rm P_2$ 에서 만나고 정사각형 $R_1$ 의 두 변에 각각 접하도록 그린다. 정사각형 $R_1$ 의 네 변 중 원과 접하지 않는 변의 중점을 $Q_2$ 라 하고, 선분 $\rm P_2Q_2$ 를 대각선으로 하는 정사각형 $R_2$ 를 그린다. 이때..

두 양수 $ a, \; b$ 에 대하여 한 변의 길이가 $a+b$ 인 정사각형 $\rm ABCD$ 의 네 변 $\rm AB, \; BC, \; DC, \; DA$ 를 각각 $ a:b$ 로 내분하는 점을 $\rm E, \;F, \;G, \;H$ 라 하고, 선분 $\rm FH$ 의 중점을 $\rm M$ 이라 하자. 그림은 위의 설명과 같이 그린 한 예이다.에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ㄱ. $\overline{\rm FM}=\overline{\rm GM}$ㄴ. $\triangle {\rm EFM} \ge \triangle{\rm FGM}$ㄷ. $\overline{\rm FH}=6\sqrt{2}$ 일 때, 삼각형 $\rm FGM$ 의 넓이의 최댓값은 $9$ 이다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ,..

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$ \sum \limits_{k=1}^n (-1)^{k+1}k^2=(-1)^{n+1} \cdot \dfrac{n(n+1)}{2} \;\; \cdots\cdots\; (*)$$ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (i) $n=1$ 일 때, (좌변) $=(-1)^2 \times 1^2 = 1$ (우변) $=(-1)^2 \times \dfrac{1 \times 2}{2} = 1$(ii) $n=m$ 일 때, (*) 이 성립한다고 가정하면 $\begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{m+1} (-1)^{k+1} k^2 &= \sum \limits_{k=1}^{m} (-1)^{k+1}k^2 + (가) \\ &= (나) + (가) \\ &= (-..

무리함수 $f(x)=\sqrt{x-k}$ 에 대하여 좌표평면에 곡선 $y=f(x)$ 와 세 점 $\rm A(1, \;6), \; B(7, \;1), \; C(8, \;9)$ 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 곡선 $ y=f(x)$ 와 함수 $ f(x)$ 의 역함수의 그래프가 삼각형 $\rm ABC$ 와 만나도록 하는 실수 $k$ 의 최댓값은?① $6$ ② $5$ ③ $4$ ④ $3$ ⑤ $2$ 정답 ②