수학적 귀납법_난이도 중 (2016년 3월 교육청 나형 16번)

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$ \sum \limits_{k=1}^n (-1)^{k+1}k^2=(-1)^{n+1} \cdot \dfrac{n(n+1)}{2} \;\;  \cdots\cdots\; (*)$$ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(i) $n=1$ 일 때, 

    (좌변) $=(-1)^2 \times 1^2 = 1$

    (우변) $=(-1)^2 \times \dfrac{1 \times 2}{2} = 1$

(ii) $n=m$ 일 때, (*) 이 성립한다고 가정하면

     $\begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{m+1} (-1)^{k+1} k^2 &= \sum \limits_{k=1}^{m} (-1)^{k+1}k^2 + (가) \\ &= (나) + (가) \\ &= (-1)^{m+2} \cdot \dfrac{(m+1)(m+2)}{2} \end{aligned}$

    이다.

    따라서 $n=m+1$ 일 때도 (*) 이 성립한다.

(i), (ii) 에 의하여 모든 자연수 $n$ 에 대하여 (*) 이 성립한다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $ f(m), \; g(m) $ 이라 할 때, $\dfrac{f(5)}{g(2)}$ 의 값은?

① $8$          ② $10$          ③ $12$          ④ $14$          ⑤ $16$

정답 ③