정사영의 넓이 & 삼수선의 정리_난이도 상 (2024년 10월 전국연합 고3 기하 30번)

 

 

그림과 같이 한 변의 길이가 $2$ 인 정사각형을 밑면으로 하고 $\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{AE}}=4$ 인 정사각뿔 $\mathrm{A-BCDE}$ 가 있다. 두 선분 $\mathrm{BC, \; CD}$ 의 중점을 각각 $\mathrm{P, \; Q}$ 라 하고, 선분 $\mathrm{CA}$ 를 $1:7$ 로 내분하는 점을 $\mathrm{R}$ 이라 하자. 네 점 $\mathrm{C, \; P, \; Q, \; R}$ 을 모두 지나는 구 위의 점 중에서 직선 $\mathrm{AB}$ 와 거리가 최소인 점을 $\mathrm{S}$ 라 하자. 삼각형 $\mathrm{ABS}$ 의 평면 $\mathrm{BCD}$ 위로의 정사영의 넓이가 $p+q\sqrt{2}$ 일 때, $60 \times (p+q)$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 유리수이다.)

정답 $20$