합성함수의 미분&부정적분_난이도 상 (2022년 11월 수능 미적 30번)

 

 

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$ 와 함수 $g(x)=e^{\sin \pi x}-1$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함성합수 $h(x)=g(f(x))$ 가 다음 조건을 만족시킨다. 

 

(가) 함수 $h(x)$ 는 $x=0$ 에서 극댓값 $0$ 을 갖는다.

(나) 열린구간 $(0, \; 3)$ 에서 방정식 $h(x)=1$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $7$ 이다.

 

$f(3)=\dfrac{1}{2}$, $f'(3)=0$ 일 때, $f(2)=\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

 

정답 $31$