정적분&치환적분_난이도 상 (2022년 10월 교육청 고3 미적분 30번)

 

 

최고차항의 계수가 $1$ 인 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)=\ln \{f(x)+f'(x)+1\}$ 이 있다. 상수 $a$ 와 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g(x)>0$이고 $\displaystyle \int_{2a}^{3a+x}g(t)dt = \int_{3a-x}^{2a+2} g(t)dt$이다.

(나) $g(4)=\ln 5$

 

$\displaystyle \int_3^5 \{f'(x)+2a\}g(x)dx = m+n \ln 2$ 일 때, $m+n$ 의 값을 구하시오. (단, $m, \; n$ 은 정수이고, $\ln 2$ 는 무리수이다.)

 

정답 $12$