정적분으로 정의된 함수_난이도 중상

$x \ge 0$에서 $f(x)>0$ 인 연속함수 $f(x)$ 와 일차함수 $g(x)$ 가 임의의 자연수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 닫힌 구간 $[0, \; 1]$ 에서 $f(x)=2^{-x}$ 이다.

(나) 열린 구간 $(2n-1, \; 2n)$ 의 임의의 실수 $t$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 와 $x=t$ 및 $x$ 축, $y$ 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S(t)$ 라 할 때, $S'(t)=nt+f(2n)-2n^2$ 이다.

(다) 닫힌 구간 $[2n, \; 2n+1]$ 의 임의의 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)=f(x-2)+g(n)$ 이다.

$g \left ( \dfrac{25}{2} \right ) \times \displaystyle \int_2^4 f(x) \; dx = p+\dfrac{q}{\ln 2}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p, \; q$ 는 정수이고, $\ln 2$ 는 무리수이다.)

정답 $36$