수학1_도형과 무한등비급수_난이도 중

그림과 같이 길이가 $8$ 인 선분 $\rm AB$ 가 있다. 선분 $\rm AB$ 의 삼등분점 $\rm A_1,\;B_1$ 을 중심으로 하고 선분 $\rm A_1B_1$ 을 반지름으로 하는 두 원이 서로 만나는 두 점을 각각 $\rm P_1, \;Q_1$ 이라고 하자.

선분 $\rm A_1B_1$ 의 삼등분점 $\rm A_2, \;B_2$ 를 중심으로 하고 선분 $\rm A_2B_2$ 를 반지름으로 하는 두 원이 서로 만나는 두 점을 각각 $\rm P_2, \;Q_2$ 라고 하자.

선분 $\rm A_2B_2$ 의 삼등분점 $\rm A_3, \;B_3$ 를 중심으로 하고 선분 $\rm A_3B_3$ 를 반지름으로 하는 두 원이 서로 만나는 두 점을 각각 $\rm P_3, \;Q_3$ 라고 하자.

이과 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 두 호 ${\rm P}_n{\rm A}_n{\rm Q}_n$ , ${\rm P}_n {\rm B}_n {\rm Q}_n$ 의 길이의 합을 $l_n$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=1}^{\infty} l_n$ 의 값은?

 

  ① $\dfrac{10}{3}\pi$          ② $4\pi$          ③ $\dfrac{14}{3}\pi$          ④ $\dfrac{16}{3}\pi$          ⑤ $6\pi$

 

 

정답 ④