수학1_도형과 무한등비급수_난이도 중

그림과 같이 $\overline{\rm A_1D_1}=2,\; \overline{\rm A_1B_1}=1$ 인 직사각형 $\rm A_1B_1C_1D_1$ 에서 선분 $\rm A_1D_1$ 의 중점을 $\rm M_1$ 이라 하자. 중심이 $\rm A_1$, 반지름의 길이가 $\rm A_1B_1$ 이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\rm A_1B_1M_1$ 을 그리고, 부채꼴 $\rm A_1B_1M_1$ 에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자. 그림 $R_1$ 에서 부채꼴 $\rm A_1B_1M_1$ 의 호 $\rm B_1M_1$ 이 선분 $\rm A_1C_1$ 과 만나는 점을 $\rm A_2$ 라 하고, 중심이 $\rm A_1$, 반지름의 길이가 $\overline{\rm A_1D_1}$ 인 원이 선분 $\rm A_1C_1$ 과 만나는 점을 $\rm C_2$ 라 하자. 가로와 세로의 길이의 비가 $2:1$ 이고 가로가 선분 $\rm A_1D_1$ 과 평행한 직사각형 $\rm A_2B_2C_2D_2$ 에서 그림 $R_1$ 얼 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 부채꼴에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$ 라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_n$ 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} S_n$ 의 값은?

① $\dfrac{5}{16}\pi$          ② $\dfrac{11}{32}\pi$          ③ $\dfrac{3}{8}\pi$          ④ $\dfrac{13}{32}\pi$          ⑤ $\dfrac{7}{16}\pi$         

 

 

 

정답 ①