수학1_도형과 무한등비급수_난이도 중

그림과 같이 한 변의 길이가 $a$ 인 정사각형 $\rm OB_1C_1A_0$ 이  있다 삼각형 $\rm OA_1D_1$ 이 $\angle \rm D_1OA_1=30^{\rm o}$ 인 이등변삼각형이 되도록 변 $\rm B_1C_1$, $\rm A_0C_1$ 위에 각각 점 $\rm A_1, \;D_1$ 을 잡고 변 $\rm OA_1$ 의 길이를 $l_1$ 이라 하자. 선분 $\rm OA_1$ 을 한 변으로 하는 정사각형 $\rm OB_2C_2A_1$ 에서 삼각형 $\rm OA_2D_2$ 가 $\angle \rm D_2OA_2=30^{\rm o}$ 인 이등변삼각형이 되도록 변 $\rm B_2C_2$, $\rm A_1C_2$ 위에 각각 점 $\rm A_2, \; D_2$ 를 잡고 변 $\rm OA_2$ 의 길이를 $l_2$ 라 하자. 선분 $\rm OA_2$ 를 한 변으로 하는 정사각형 $\rm OB_3C_3A_2$ 에서 삼각형 $\rm OA_3D_3$ 이 $\angle \rm D_3OA_3=30^{\rm o}$ 인 이등변삼각형이 되도록 변 $\rm B_3C_3$, $\rm A_2C_3$ 위에 각각 점 $\rm A_3, \; D_3$ 를 잡고 변 $\rm OA_3$ 의 길이를 $l_3$ 이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 얻은 이등변삼각형 ${\rm OA}_n {\rm D}_n$ 에서 변 ${\rm OA}_n$ 의 길이를 $l_n$ 이라 하자. $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{l_n}=\sqrt{3}$ 일 때, $a$ 의 값은?

① $\sqrt{3}$                              ② $1+\sqrt{3}$                              ③ $2+\sqrt{3}$

④ $3+\sqrt{3}$                       ⑤ $6+\sqrt{3}$

 

 

정답 ③