수학1_도형과 무한등비급수_난이도 상

그림과 같이 좌표평면 위에 세 점 $\rm A_1(0,\;\sqrt{3}), \; B_1(-1,\;0),\; C_1(1,\;0)$ 이 있다. 세 점 $\rm A_1, \;B_1,\;C_1$ 에 대하여 선분 $\rm A_1C_1$ 을 $4:1$ 로 외분하는 점과 $2:1$ 로 내분하는 점을 각각 $\rm A_2, \;B_2$ 라 하고, 삼각형 $\rm A_2B_2C_2$ 가 정삼각형이 되도록 점 $\rm C_2$ 를 정한다. 또, 선분 $\rm A_2C_2$ 를 $4:1$로 외분하는 점과 $2:1$ 로 내분하는 점을 각각 $\rm A_3, \;B_3$ 이라 하고, 삼각형 $\rm A_3B_3C_3$ 이 정삼각형이 되도록 점 $\rm C_3$ 를 정한다. 이와 같은 과정을 계속하여 점 $\rm C_{\it n}$ 을 정할 때, 점 ${\rm C}_n$ 의 $x$ 좌표를 $x_n$ 이라 하자. $\lim \limits_{n \to \infty} x_n$ 의 값을 구하시오. (단, 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $x_n <x_{n+1}$ 이다.)

 

 

 

정답 $4$