수학1_수열_점화식_빈칸채우기_난이도 중

수열 $\{a_n\}$ 은 $a_1=2$ 이고, $S_n=\sum \limits_{k=1}^{n} a_k$ 라 할 때, $a_{n+1}= \dfrac{S_n}{a_n}\;\; (n \geq 1)$ 을 만족시킨다. 다음은 $S_n$ 을 구하는 과정이다.

 

주어진 식으로부터 $a_2=\dfrac{S_1}{a_1}=1$ 이다.

$n\geq 3$ 일 때,

$a_n = \dfrac{S_{n-1}}{a_{n-1}}=\dfrac{S_{n-2}+a_{n-1}}{a_{n-1}}=\dfrac{a_{n-2}a_{n-1}+a_{n-1}}{a_{n-1}}$ 이므로

$a_n =a_{n-2}+1$

이다. 따라서 일반항 $a_n$ 을 구하면, 자연수 $k$ 에 대하여

$n=2k-1$ 일 때, $a_{2k-1}=k+1$

$n=2k$ 일 때, $a_{2k}=(가)$

이다. 한편 $S_n=a_na_{n+1}$ 이므로

${S_n} = \left\{ {\begin{array}{ll}{\left( {k + 1} \right) \times (가)}&{\left( {n = 2k - 1} \right)}\\{(나)}&{\left( {n = 2k} \right)}\end{array}} \right.$

 

위의 (가), (나)에 알맞은 수를 각각 $f(k), \;g(k)$ 라 할 때, $f(6)+g(7)$ 의 값은?

 

① $65$          ② $67$          ③ $69$          ④ $71$          ⑤ $73$         

 

정답 ③