수학1_수열_점화식_빈칸채우기_난이도 중

수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1=2\) 이고, \(S_n=\sum \limits_{k=1}^{n} a_k\) 라 할 때, \[a_{n+1}= \dfrac{S_n}{a_n}\;\; (n \geq 1) \] 을 만족시킨다. 다음은 \(S_n\) 을 구하는 과정이다.

 

주어진 식으로부터 \(a_2=\dfrac{S_1}{a_1}=1\) 이다.

\(n\geq 3\) 일 때,

\(a_n = \dfrac{S_{n-1}}{a_{n-1}}=\dfrac{S_{n-2}+a_{n-1}}{a_{n-1}}=\dfrac{a_{n-2}a_{n-1}+a_{n-1}}{a_{n-1}}\) 이므로

\(a_n =a_{n-2}+1\)

이다. 따라서 일반항 \(a_n\) 을 구하면, 자연수 \(k\) 에 대하여

\(n=2k-1\) 일 때, \(a_{2k-1}=k+1\)

\(n=2k\) 일 때, \(a_{2k}=(가)\)

이다. 한편 \(S_n=a_na_{n+1}\) 이므로

\[{S_n} = \left\{ {\begin{array}{ll}{\left( {k + 1} \right) \times (가)}&{\left( {n = 2k - 1} \right)}\\{(나)}&{\left( {n = 2k} \right)}\end{array}} \right.\]

 

위의 (가), (나)에 알맞은 수를 각각 \(f(k), \;g(k)\) 라 할 때, \(f(6)+g(7)\) 의 값은?

 

① \(65\)          ② \(67\)          ③ \(69\)          ④ \(71\)          ⑤ \(73\)         

 

정답 ③