수학1_수열_점화식_빈칸채우기_난이도 중

수열 $\{a_n\}$ 은 $a_1=4$ 이고, $a_{n+1} = n \cdot 2^n +\sum \limits_{k=1}^{n} \dfrac{a_k}{k} \; (n \geq 1)$을 만족시킨다. 다음은 일반항 $a_n$ 을 구하는 과정이다.

 

주어진 식에 의하여 $a_n =(n-1) \cdot 2^{n-1} + \sum \limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{a_k}{k} \;(n \geq 2)$ 이다. 따라서 $2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여

$a_{n+1}-a_n=(가)+\dfrac{a_n}{n}$ 이므로

$a_{n+1}= \dfrac{(n+1)a_n}{n}+(가)$ 이다.

$b_n=\dfrac{a_n}{n}$ 이라 하면

$b_{n+1}=b_n +\dfrac{(가)}{n+1} \;\; (n \geq 2)$ 이고

$b_2=3$ 이므로 $b_n = (나)\;\; (n \geq 2)$ 이다.

그러므로 ${a_n} = \left\{ {\begin{array}{ll} 4&{(n = 1)}\\ {n \times (나) }&{\left( {n \ge 2} \right)}\end{array}} \right.$

 

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(n), \;g(n)$ 이라 할 때, $f(4)+g(7)$ 의 값은?

 

① $90$          ② $95$          ③ $100$          ④ $105$          ⑤ $110$

 

 

정답 ④