수학1_수열_점화식_빈칸채우기_난이도 중

첫째항이 \(1\) 인 수열 \(\{a_n\}\) 에 대하여 \(S_n=\sum \limits_{k=1}^{n}a_k\) 라 할 때, \[nS_{n+1} =(n+2)S_n +(n+1)^3 \;\; (n \geq 1)\] 이 성립한다. 다음은 수열 \(\{a_n\}\) 의 일반항을 구하는 과정의 일부이다.

 

자연수 \(n\) 에 대하여 \(S_{n+1}=S_n +a_{n+1}\) 이므로 \[n a_{n+1} = 2S_n +(n+1)^3 \cdots\cdots ㉠\] 이다. \(2\) 이상의 자연수 \(n\) 에 대하여 \[(n-1)a_n=2S_{n-1}+n^3 \cdots\cdots ㉡\]이고, ㉠에서 ㉡을 뺀 식으로부터

\[na_{n+1}=(n+1)a_n + (가) \]

를 얻는다. 양변을 \(n(n+1)\) 로 나누면

\[\dfrac{a_{n+1}}{n+1} = \dfrac{a_n}{n} + \dfrac{(가)}{n(n+1)}\]

이다. \(b_n = \dfrac{a_n}{n}\) 이라 하면 \[b_{n+1} =b_n +3+(나) \;\; (n \geq 2)\]이므로 \[b_n = b_2+(다)\;\;(n \geq 3)\] 이다. \[\vdots\]

 

위의 (가), (나), (다) 에 들어갈 식을 각각 \(f(n), g(n), h(n)\) 이라 할 때, \(\dfrac{f(3)}{g(3)h(6)}\) 의 값은?

 

① \(30\)          ② \(36\)          ③ \(42\)          ④ \(48\)          ⑤ \(54\)         

 

 

정답 ②