수학1_수열_점화식_빈칸채우기_난이도 중

수열 \(\{a_n\}\) 은 \(a_1=-\dfrac{4}{9}\) 이고, \[2^na_{n+1}-2^{n+1}a_n=n \;(n \geq 1)\] 을 만족시킨다. 다음은 일반항 \(a_n\) 을 구하는 과정이다.

 

주어진 식 \(2^na_{n+1}-2^{n+1}a_n=n\) 의 양변을 \(2^{2n+1}\) 으로 나누면 \[\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\dfrac{a_n}{2^n}=\dfrac{n}{2^{2n+1}} \;(n \geq 1)\] 이므로 \(n \geq 2\) 인 자연수 \(n\) 에 대하여 \[\dfrac{a_n}{2^n}=\dfrac{a_1}{2}+ \sum \limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{k}{2^{2k+1}} \; \cdots \cdots (*)\] 이다. 한편

\( \begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{k}{2^{2k+1}} &= \dfrac{2}{3} \left ( \sum \limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{k}{2^{2k}}-\dfrac{1}{4} \sum \limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{k}{2^{2k}} \right ) \\ &= \dfrac{2}{3} \left \{ \left ( \dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{4^2}+\cdots+\dfrac{n-1}{4^{n-1}} \right ) - \left ( \dfrac{1}{4^2}+\dfrac{2}{4^3}+\cdots + \dfrac{n-1}{4^n} \right ) \right \} \\ &= \dfrac{2}{3} \left ( \sum \limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{4^k}- \dfrac{(가)}{4^n} \right ) \end{aligned}\)

이므로 \((*)\) 에 의하여

\( \begin{aligned} a_n &= (나) +\dfrac{2^{n+1}}{3} \left ( \sum \limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{4^k} - \dfrac{(가)}{4^n} \right )  \\ &= - \dfrac{3n+1}{9 \cdot 2^{n-1}}\;\; (n \geq 2) \end{aligned}\)

이다.

 

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 \(f(n),\;g(n)\) 이라 할 때, \(f(10)\times g(5)\) 의 값은?

 

① \(-64\)          ② \(-56\)          ③ \(-48\)          ④ \(-40\)          ⑤ \(-32\)         

 

정답 ①