수학1_수열_점화식_빈칸채우기_난이도 중

수열 $\{a_n\}$ 은 $a_1=-\dfrac{4}{9}$ 이고, $2^na_{n+1}-2^{n+1}a_n=n \;(n \geq 1)$ 을 만족시킨다. 다음은 일반항 $a_n$ 을 구하는 과정이다.

 

주어진 식 $2^na_{n+1}-2^{n+1}a_n=n$ 의 양변을 $2^{2n+1}$ 으로 나누면 $\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\dfrac{a_n}{2^n}=\dfrac{n}{2^{2n+1}} \;(n \geq 1)$ 이므로 $n \geq 2$ 인 자연수 $n$ 에 대하여 $\dfrac{a_n}{2^n}=\dfrac{a_1}{2}+ \sum \limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{k}{2^{2k+1}} \; \cdots \cdots (*)$ 이다. 한편

$\begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{k}{2^{2k+1}} &= \dfrac{2}{3} \left ( \sum \limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{k}{2^{2k}}-\dfrac{1}{4} \sum \limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{k}{2^{2k}} \right ) \\ &= \dfrac{2}{3} \left \{ \left ( \dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{4^2}+\cdots+\dfrac{n-1}{4^{n-1}} \right ) - \left ( \dfrac{1}{4^2}+\dfrac{2}{4^3}+\cdots + \dfrac{n-1}{4^n} \right ) \right \} \\ &= \dfrac{2}{3} \left ( \sum \limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{4^k}- \dfrac{(가)}{4^n} \right ) \end{aligned}$

이므로 $(*)$ 에 의하여

$\begin{aligned} a_n &= (나) +\dfrac{2^{n+1}}{3} \left ( \sum \limits_{k=1}^{n-1} \dfrac{1}{4^k} - \dfrac{(가)}{4^n} \right )  \\ &= - \dfrac{3n+1}{9 \cdot 2^{n-1}}\;\; (n \geq 2) \end{aligned}$

이다.

 

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(n),\;g(n)$ 이라 할 때, $f(10)\times g(5)$ 의 값은?

 

① $-64$          ② $-56$          ③ $-48$          ④ $-40$          ⑤ $-32$         

 

정답 ①