미적분과 통계기본_미분_함수의 그래프와 미분_난이도 상

사차함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$ 가 $f'(x)=(x+1)(x^2+ax+b)$ 이다. 함수 $f(x)$ 가 구간 $(-\infty,\;0)$에서 감소하고 구간 $(2, \; \infty )$ 에서 증가하도록 하는 실수 $a,\;b$ 의 순서쌍 $(a,\;b)$ 에 대하여, $a^2+b^2$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 하자.$M+m$의 값은?

① $\dfrac{21}{4}$          ② $\dfrac{43}{8}$          ③ $\dfrac{11}{2}$          ④ $\dfrac{45}{8}$          ⑤ $\dfrac{23}{4}$

정답 ③ 

사차함수 그래프가 $x=-1$ 에서 미분계수가 $0$ 이 됨에도 불구하고 계속해서 감소를 유지하기 위해서는 그래프의 개형은 다음과 같아야 한다.

 즉 $f'(x)=0$ 이 $x=-1$ 에서 중근을 갖게 되면 위와 같은 형태의 그래프가 되고, 이렇게 되어야만 $(-\infty, \; 0)$ 의 구간에서 계속 감소한다는 조건을 만족시키게 된다. 사차함수 그래프의 개형 5가지를 모두 알고 있었다면 보다 쉽게 해결할 수 있는 문제다.