수학1_수학적 귀납법_난이도 상

자연수 $N$ 에 대하여 수열 $\{a_n\}$ 을 $a_n = n (n+1)(n+2) \cdots (n + N - 1 )$ 이라 하자. 모든 자연수 $n$ 에 대하여

    $\sum\limits_{k = 1}^n a_k = \dfrac{N+n}{N+1}a_n \; \cdots \cdots \cdots$ (★)

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

 

(1) $n=1$일 때,

    $(좌변)=\sum\limits_{k = 1}^1 a_k = a_1 = (가)$

    $(우변)=\dfrac{N+1}{N+1}a_1 = a_1 = (가)$

    이므로  (★)이 성립한다.

(2) $n=m$ 일 때,  (★)이 성립한다고 가정하면

    $\sum\limits_{k = 1}^m a_k = \dfrac{N+m}{N+1} a_m$ 이다.

    $n=m+1$ 일 때, (★)이 성립함을 보이자.

    $\sum\limits_{k = 1}^{m+1} a_k = \dfrac{N+m}{N+1}a_m + (나)$

    $= \dfrac{1}{N+1} \times \dfrac{(m+N)!}{(m-1)!} + (나)$

    $= \dfrac{1}{N+1} \left\{ (다) \right\}$

    $= \dfrac{N+m+1}{N+1} a_{m+1}$

  그러므로 $n=m+1$ 일 때도 (★)이 성립한다.

  따라서 모든 자연수 $n$ 에 대하여  (★)이 성립한다.

 

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

 

	(가)	(나)	(다)
①	$N!$	$\dfrac{(m+N)!}{m!}$	$\dfrac{(m+N-1)!}{m!}$
②	$(N+1)!$	$\dfrac{(m+N-1)!}{m!}$	$\dfrac{(m+N)!}{m!}$
③	$N!$	$\dfrac{(m+N)!}{m!}$	$\dfrac{(m+N+1)!}{m!}$
④	$(N+1)!$	$\dfrac{(m+N)!}{m!}$	$\dfrac{(m+N+1)!}{m!}$
⑤	$N!$	$\dfrac{(m+N-1)!}{m!}$	$\dfrac{(m+N)!}{m!}$

 

 

 

정답 ③