수학1_수학적 귀납법_난이도 중

수열 \( a_n \) 이 \( a_1 = \alpha ( \alpha \neq 0 ) \) 이고, 모든 \( n ( n \geq 2 ) \) 에 대하여

    \( (n-1)a_n + \sum\limits_{m = 1}^{n-1} ma_m = 0 \) 을 만족시킨다. 다음은

    \( a_n = \dfrac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}\alpha \; ( n \geq 1 ) \)

임을 수학적귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

 

(1) \( n=1 \) 일 때, \( a_1 = \alpha = \dfrac{(-1)^{1-1}}{(1-1)!}\alpha \) 이다.

(2) i) \( n=2 \) 일 때, \( a_2 + a_1 = 0 \) 이므로

    \( a_2 = - a_1 = \dfrac{(-1)^{2-1}}{(2-1)!}\alpha \)이다.

    따라서 주어진 식이 성립한다.

    ii) \( n=k \; (k \geq 2 ) \) 일 때 성립한다고 가정하고, \( n=k+1 \) 일 때 성립함을 보이자.

    \( 0 = k a_{k+1} + \sum\limits_{m = 1}^k m a_m \)

    \( = k a_{k+1} + \sum\limits_{m = 1}^{k-1} ma_m + ka_k \)

    \( = k a_{k+1} + \left( (가) \right) \times a_k + ka_k \) 이므로

  \(a_{k+1} = (나) \times a_k = \dfrac{(-1)^k}{k!}\alpha \) 이다.

따라서 모든 자연수 \( n \) 에 대하여 \( a_n = \dfrac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}\alpha \) 이다.

 

위의 (가), (나)에 알맞은 식의 곱을 \( f(k) \) 라 할 때, \( f(10) \) 의 값은?

 

 

① \(\dfrac{1}{10} \)          ② \( \dfrac{3}{10} \)          ③ \( \dfrac{1}{2} \)          ④ \( \dfrac{7}{10} \)          ⑤ \( \dfrac{9}{10} \)

 

 

정답 ⑤