수학1_수학적 귀납법_난이도 중

수열 $a_n$ 이 $a_1 = \alpha ( \alpha \neq 0 )$ 이고, 모든 $n ( n \geq 2 )$ 에 대하여

    $(n-1)a_n + \sum\limits_{m = 1}^{n-1} ma_m = 0$ 을 만족시킨다. 다음은

    $a_n = \dfrac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}\alpha \; ( n \geq 1 )$

임을 수학적귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

 

(1) $n=1$ 일 때, $a_1 = \alpha = \dfrac{(-1)^{1-1}}{(1-1)!}\alpha$ 이다.

(2) i) $n=2$ 일 때, $a_2 + a_1 = 0$ 이므로

    $a_2 = - a_1 = \dfrac{(-1)^{2-1}}{(2-1)!}\alpha$이다.

    따라서 주어진 식이 성립한다.

    ii) $n=k \; (k \geq 2 )$ 일 때 성립한다고 가정하고, $n=k+1$ 일 때 성립함을 보이자.

    $0 = k a_{k+1} + \sum\limits_{m = 1}^k m a_m$

    $= k a_{k+1} + \sum\limits_{m = 1}^{k-1} ma_m + ka_k$

    $= k a_{k+1} + \left( (가) \right) \times a_k + ka_k$ 이므로

  $a_{k+1} = (나) \times a_k = \dfrac{(-1)^k}{k!}\alpha$ 이다.

따라서 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n = \dfrac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}\alpha$ 이다.

 

위의 (가), (나)에 알맞은 식의 곱을 $f(k)$ 라 할 때, $f(10)$ 의 값은?

 

 

① $\dfrac{1}{10}$          ② $\dfrac{3}{10}$          ③ $\dfrac{1}{2}$          ④ $\dfrac{7}{10}$          ⑤ $\dfrac{9}{10}$

 

 

정답 ⑤