수학1_수학적귀납법_난이도 상

다음은 $n \geq 2$ 인 모든 자연수 $n$ 에 대하여

    $\left( 1 + \dfrac{1}{1^3} \right) \left( 1 + \dfrac{1}{2^3} \right) \left ( 1 + \dfrac{1}{3^3} \right) \cdots \left( 1 + \dfrac{1}{n^3} \right) < 3 - \dfrac{1}{n} \;\ \cdots \;$ ㉠

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정이다.

(i) $n=2$ 일 때

    $(좌변) = \left( 1 + \dfrac{1}{1^3} \right) \left( 1 + \dfrac{1}{2^3} \right) = \dfrac{9}{4} , \; (우변) = 3 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$

    이므로 ㉠이 성립한다.

 

(ii) $n = k \; (k \geq 2 )$ 일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면

    $\left( 1 + \dfrac{1}{1^3} \right) \left( 1 + \dfrac{1}{2^3} \right) \left( 1 + \dfrac{1}{3^3} \right) \cdots \left( 1 + \dfrac{1}{k^3} \right) < 3 - \dfrac{1}{k} \cdots$ ㉡

    ㉡의 양변에 $(가)$ 를 곱하면

    $\left( 1 + \dfrac{1}{1^3} \right) \left( 1 + \dfrac{1}{2^3} \right) \left( 1 + \dfrac{1}{3^3} \right) \cdots \left( 1 + \dfrac{1}{k^3} \right) \left( (가) \right)$

        $< \left ( 3 - \dfrac{1}{k} \right) \left( (가) \right) \cdots$ ㉢

    ㉢의 우변을 정리하면

    $(우변) = 3 - \dfrac{ (나) } { k ( k+1 )^3 }$

    이 때, $\dfrac{ (나) }{k(k+1)^3} - \dfrac{1}{k+1} (다) 0$

    따라서 $n=k+1$ 일 때도 ㉠이 성립한다.

 

그러므로 (i), (ii)에 의하여 $n \geq 2$ 인 모든 자연수 $n$ 에 대하여 주어진 부등식은 성립한다.

 

위의 증명 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

 

 

	$(가)$	$(나)$	$(다)$
①	$1 + \dfrac{1}{(k+1)^3}$	$k^3 + 3k^2 + 2$	$<$
②	$1 + \dfrac{1}{(k+1)^3}$	$k^3 + 3k^2 + 2$	$>$
③	$1 + \dfrac{1}{(k+1)^3}$	$k^3 - 3k^2 + 2$	$<$
④	$\dfrac{1}{(k+1)^3}$	$k^3 - 3k^2 + 2$	$>$
⑤	$\dfrac{1}{(k+1)^3}$	$k^3 - 3k^2 + 2$	$<$

 

 

 

정답 ②