수학1_수학적 귀납법_난이도 중

다음은 수열 \( \{a_n \} \) 에서 일반항 \( a_n \) 이 \( a_n = \sum\limits_{k = 1}^n \dfrac{1}{k} \) 일 때, \( n \geq 2 \) 인 모든 자연수에 \( n \) 에 대하여 \( n + a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1} = n a_n \) 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정이다.

 

i) \( n =2 \) 일 때,

    \( (좌변)=2+ \dfrac{1}{1} = 3 , \; (우변) = 2 \left( 1 + \dfrac{1}{2} \right) = 3 \) 이므로, 주어진 식이 성립한다.

 

ii) \(n=k \; ( k \geq 2 ) \) 일 때, 주어진 식이 성립한다고 가정하면

    \( k + a_1 + a_2 + \cdots + a_{k-1} = ka_k \; \cdots \cdots \) ㉠

이 때, 식 ㉠의 좌변에 \( 1 + a_k \) 를 더하면

    \( k + 1 + a_1 + a_2 + \cdots + a_{k-1} + a_k = (가) + 1 + a_k \)

    \( = (k+1) a_k + 1 \)

    \( = (k+1)( \; (나) \; ) + 1 \)

    \( = (k+1)a_{k+1} \)

  따라서, \( n=k+1 \) 일 때도 주어진 식이 성립한다.

 

  그러므로 i), ii)에 의하여

    \( n+a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1} = na_n \)

은 \(n \geq 2 \) 인 모든 자연수 \( n \) 에 대하여 성립한다.

 

위의 과정에서 (가), (나) 에 알맞은 것은?

 

	\( (가) \)	\( (나) \)
①	\( k a_k \)	\( a_k + \dfrac{1}{k+1} \)
②	\( k a_k \)	\(  a_{k+1} - \dfrac{1}{k+1} \)
③	\( k a_k \)	\( a_{k+1} + \dfrac{1}{k+1} \)
④	\( (k+1) a_k \)	\( a_k + \dfrac{1}{k+1} \)
⑤	\( (k+1) a_k \)	\( a_{k+1} - \dfrac{1}{k+1} \)

 

 

 

 

정답 ②