수악중독

그림과 같이 점 ${\rm F}(p, \; 0) \; (p>0)$ 을 지나고 기울기가 양수인 직선이 포물선 $y^2=4px$ 와 만나는 두 점을 각각 $\rm A, \; B$ 라 하고, 점 $\rm F$ 를 중심으로 하고 점 $\rm B$ 를 지나는 원을 $C$ 라 하자. 원 $C$ 가 선분 $\rm AF$ 와 만나는 점을 $\rm P$ , $x$ 축과 만나는 점 중 $x$ 좌표가 음수인 점을 $\rm Q$ 라 할 때, 두 점 $\rm P, \; Q$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overline{\rm AP}=\overline{\rm PF}$ (나) 점 $\rm Q$ 의 $x$ 좌표는 $-1$ 이다. 삼각형 $\rm AQB$ 의 넓이는? (단, 점 $\rm A$ 는 제1사분면 위의 점이다.) ..

그림과 같이 두 점 ${\rm F}(c, \; 0), \; {\rm F'}(-c, \; 0) \; (c>0)$ 을 초점으로 하는 타원이 있다. 선분 $\rm F'F$ 를 $3:1$ 로 내분하는 점을 $\rm A$, $3:1$ 로 외분하는 점을 $\rm B$ 라 하고, 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 원이 타원과 제1사분면에서 만나는 점을 $\rm C$ 라 하자. $$\overline{\rm AF}=\overline{\rm AC}, \; \; \overline{\rm OC}= 2\sqrt{6}$$ 일 때, 이 타원의 장축의 길이는 $p$ 이다. $p^2$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 더보기 정답 $192$

좌표평면 위의 두 점 $\rm A \left ( 2\sqrt{2}, \; -\sqrt{2} \right )$, $\rm B \left ( -\sqrt{2}, \; 2\sqrt{2} \right )$ 에 대하여 두 점 $\rm P, \; Q$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overrightarrow{\rm OP} = (1-t) \overrightarrow{\rm OA} + t \overrightarrow{\rm OB}$ 이고 $\dfrac{2}{3} \le t \le 1$ 이다. (나) $\left | \overrightarrow{\rm OQ} \right | = \left | \overrightarrow{\rm OA} \right |$ 이고 $\overrightarrow{\rm OQ} \cdot..

좌표평면 위의 두 점 ${\rm A}(6, \; 0), \; {\rm B}(6, \; 5)$ 와 음이 아닌 실수 $k$ 에 대하여 두 점 $\rm P, \; Q$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overrightarrow{\rm OP} = k \left ( \overrightarrow{\rm OA} + \overrightarrow{\rm OB} \right )$ 이고 $\overrightarrow{\rm OP} \cdot \overrightarrow{\rm OA} \le 21$ 이다. (나) $\left | \overrightarrow{\rm AQ} \right | = \left | \overrightarrow{\rm AB} \right |$ 이고 $\overrightarrow{\rm OQ} \c..

그림과 같이 포물선 $y^2=16x$ 의 초점을 $\rm F$ 라 하자. 점 $\rm F$ 를 한 초점으로 하고 점 ${\rm A}(-2, \; 0)$ 을 지나며 다른 초점 $\rm F'$ 이 선분 $\rm AF$ 위에 있는 타원 $E$ 가 있다. 포물선 $y^2=16x$ 가 타원 $E$ 와 제1사분면에서 만나는 점을 $\rm B$ 라 하자. $\overline{\rm BF}=\dfrac{21}{5}$ 일 때, 타원 $E$ 의 장축의 길이는 $k$ 이다. $10k$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $66$

[그림 1]과 같이 $\overline{\rm AB}=3, \; \overline{\rm AD}=2\sqrt{7}$ 인 직사각형 $\rm ABCD$ 모양의 종이가 있다. 선분 $\rm AD$ 의 중점을 $\rm M$ 이라 하자. 두 선분 $\rm BM, \; CM$ 을 접는 선으로 하여 [그림 2]와 같이 두 점 $\rm A, \; D$ 가 한 점 $\rm P$ 에서 만나도록 종이를 접었을 때, 평면 $\rm PMB$ 과 평면 $\rm BCM$ 이 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라 하자. $\cos \theta$ 의 값은? (단, 종이의 두께는 고려하지 않는다.) ① $\dfrac{17}{27}$ ② $\dfrac{2}{3}$ ③ $\dfrac{19}{27}$ ④ $\dfrac{20}{27}$ ⑤ ..

그림과 같이 평면 $\alpha$ 위에 있는 서로 다른 두 점 $\rm A, \; B$ 와 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 서로 다른 네 점 $\rm C, \; D, \; E, \; F$ 가 있다. 사각형 $\rm ABCD$ 는 한 변의 길이가 $6$ 인 정사각형이고 사각형 $\rm ABEF$ 는 $\overline{\rm AF}=12$ 인 직사각형이다. 정사각형 $\rm ABCD$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 넓이는 $18$ 이고, 점 $\rm F$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영을 $\rm H$ 라 하면 $\overline{\rm FH}=6$ 이다. 정사각형 $\rm ABCD$ 의 평면 $\rm ABEF$ 위로의 정사영의 넓이는? (단, $0

그림과 같이 좌표평면에서 포물선 $y^2=4x$ 의 초점 $\rm F$ 를 지나고 $x$ 축과 수직인 직선 $l_1$ 이 이 포물선과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 $\rm A, B$ 라 하고, 점 $\rm F$ 를 지나고 기울기가 $m\ (m>0)$ 인 직선 $l_2$ 가 이 포물선과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 $\rm C, \; D$ 라 하자. 삼각형 $\rm FCA$ 의 넓이가 삼각형 $\rm FDB$ 넓이의 $5$ 배일 때, $m$ 의 값은? (단, 두 점 $\rm A, \; C$ 는 제$1$사분면 위의 점이고, 두 점 $\rm B, \; D$ 는 제$4$사분면 위의 점이다. ) ① $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ② $1$ ③ $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ ④ $\dfra..

평면 위에 $$\overline{\rm OA}=2+2\sqrt{3},\;\overline{\rm AB}=4,\;\angle{\rm COA}=\dfrac{\pi}{3}, \angle{\rm A}=\angle{\rm B}=\dfrac{\pi}{2}$$ 를 만족시키는 사다리꼴 $\rm OABC$ 가 있다. 선분 $\rm AB$ 를 지름으로 하는 원 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 $\overrightarrow{\rm OC}\cdot\overrightarrow{\rm OP}$ 의 값이 최대가 되도록 하는 점 $\rm P$ 를 $\rm Q$ 라 할 때, 직선 $\rm OQ$ 가 원과 만나는 점 중 $\rm Q$ 가 아닌 점을 $\rm D$ 라 하자. 원 위의 점 $\rm R$ 에 대하여 $\overrightar..

두 초점이 $\rm F, \; F'$ 이고 장축의 길이가 $2a$ 인 타원이 있다. 이 타원의 한 꼭짓점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$ 인 원이 이 타원의 서로 다른 두 꼭짓점과 한 초점을 지날 때, 상수 $a$ 의 값은? ① $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ② $\dfrac{\sqrt{6}-1}{2}$ ③ $\sqrt{3}-1$ ④ $2\sqrt{2}-2$ ⑤ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 더보기 정답 ③