수악중독

포물선 $y^2=8x$ 와 직선 $y=2x-4$ 가 만나는 점 중 제$1$사분면 위에 있는 점을 $\rm A$ 라 하자. 양수 $a$ 에 대하여 포물선 $(y-2a)^2=8(x-a)$ 가 점 $\rm A$ 를 지날 때, 직선 $y=2x-4$ 와 포물선 $(y-2a)^2=8(x-a)$ 가 만나는 점 중 점 $\rm A$ 가 아닌 점을 $\rm B$ 라 하자. 두 점 $ \rm A, \; B$ 에서 직선 $x=-2$ 에 내린 수선의 발을 각각 $\rm C, \; D$ 라 할 때, $\overline{\rm AC} + \overline{\rm BD}-\overline{\rm AB} = k$ 이다. $k^2$ 의 값을 구하시오. 더보기 정답 $80$

좌표평면 위에 네 점 ${\rm A}(2, \; 0), \; {\rm B}(0, \; 2), \; {\rm C}(-2, \; 0), \; {\rm D}(0, \; -2)$ 를 꼭짓점으로 하는 정사각형 $\rm ABCD$ 의 네 변 위의 두 점 $\rm P, \; Q$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\left ( \overrightarrow{\rm PQ} \cdot \overrightarrow{\rm AB} \right ) \left ( \overrightarrow{\rm PQ} \cdot \overrightarrow{\rm AD} \right ) = 0$ (나) $\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OP} \ge -2$ 이고 $\overrigh..

좌표평면에서 두 점 ${\rm F} \left ( \dfrac{9}{4}, \; 0 \right ), \; {\rm F'} (-c, \; 0) \;\; (c>0)$ 을 초점으로 하는 타원과 포물선 $y^2=9x$ 가 제 $1$ 사분면에서 만나는 점을 $\rm P$ 라 하자. $\overline{\rm PF}=\dfrac{25}{4}$ 이고 포물선 $y^2=9x$ 위의 점 $\rm P$ 에서의 접선이 점 $\rm F'$ 을 지날 때, 타원의 단축의 길이는? ① $13$ ② $\dfrac{27}{2}$ ③ $14$ ④ $\dfrac{29}{2}$ ⑤ $15$ 더보기 정답 ⑤

좌표평면 위에 네 점 ${\rm A}(-2, \; 0)$, ${\rm B}(1, \; 0)$, ${\rm C}(2, \; 1)$, ${\rm D}(0, \; 1)$ 이 있다. 반원의 호 $(x+1)^2 +y^2=1 \;\; (0 \le y\le 1)$ 위를 움직이는 점 $\rm P$ 와 삼각형 $\rm BCD$ 위를 움직이는 점 $\rm Q$ 에 대하셔 $\left | \overrightarrow{\rm OP} + \overrightarrow{\rm AQ} \right |$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$ 이라 하자. $M^2+m^2=p+2\sqrt{q}$ 일 때, $p \times q$ 의 값을 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이고, $p$ 와 $q$ 는 유리수이다.) 더보기 정답 $115$

그림과 같이 두 초점이 ${\rm F}(c, \; 0), \; {\rm F'}(-c, \; 0)\;\;(c>0)$ 인 타원 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{7}=1$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 직선 $\rm FP$ 와 직선 $\rm F'P$ 에 동시에 접하고 중심이 선분 $\rm F'F$ 위에 있는 원 $C$ 가 있다. 원 $C$ 의 중심을 $\rm C$, 직선 $\rm F'P$ 가 원 $C$ 와 만나는 점을 $\rm Q$ 라 할 때, $2\overline{\rm PQ}=\overline{\rm PF}$ 이다. $24 \times \overline{\rm CP}$ 의 값을 구하시오. (단, 점 $\rm P$ 는 제$1$사분면 위의 점이다.) 더보기 정답 $63$

그림과 같이 두 초점이 ${\rm F}(c, \; 0), \; {\rm F'}(-c, \; 0)$ 이고 장축의 길이가 $12$ 인 타원이 있다. 점 $\rm F$ 가 초점이고 직선 $x=-k\; (k>0)$ 이 준선인 포물선이 타원과 제 $2$ 사분면의 점 $\rm P$ 에서 만난다. 점 $\rm P$ 에서 직선 $x=-k$ 에 내린 수선의 발을 $\rm Q$ 라 할 때, 두 점 $\rm P, \; Q$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\cos (\angle {\rm F'FP} ) = \dfrac{7}{8}$ (나) $\overline{\rm FP} - \overline{\rm F'Q} = \overline{\rm PQ} - \overline{\rm FF'}$ $c+k$ 의 값을 구하시오. 더보기 ..

두 초점이 ${\rm F}_1(c, \; 0), \; {\rm F}_2(-c, \; 0)$ 인 타원이 $x$ 축과 두 점 ${\rm A}(3, \; 0), \; {\rm B}(-3, \; 0)$ 에서 만난다. 선분 $\rm BO$ 가 주축이고, 점 $\rm F_1$ 이 한 초점이 쌍곡선의 초점 중 ${\rm F}_1$ 이 아닌 점을 ${\rm f}_3$ 이라 하자. 쌍곡선이 타원과 제 $1$ 사분면에서 만나는 점을 $\rm P$ 라 할 때, 삼각형 $\rm PF_3F_2$ 의 둘레의 길이를 구하시오. (단, $\rm O$ 는 원점이다.) 더보기 정답 $12$

자연수 $n$ 에 대하여 초점이 $\rm F$ 인 포물선 $y^2=2x$ 위의 점 ${\rm P}_n$ 이 $\overline{{\rm FP}_n}=2n$ 을 만족시킬 때, $\sum \limits_{n=1}^8 \overline{{\rm OP}_n}^2$ 의 값은 (단, $\rm O$ 는 원점이고, 점 ${\rm P}_n$ 은 제 $1$ 사분면에 있다.) ① $874$ ② $876$ ③ $878$ ④ $880$ ⑤ $882$ 더보기 정답 ⑤

좌표평면에서 반원의 호 $x^2 +y^2 = 4 \; (x \ge 0)$ 위의 한 점 ${\rm P}(a, \; b)$ 에 대하여 $$\overrightarrow{\rm OP} \cdot \overrightarrow{\rm OQ} = 2$$ 를 만족시키는 반원의 호 $(x+5)^2 + y^2 = 16 \; (y \ge 0)$ 위의 점 $ \rm Q$ 가 하나뿐일 때, $a+b$ 의 값은? (단, $\rm O$ 는 원점이다.) ① $\dfrac{12}{5}$ ② $\dfrac{5}{2}$ ③ $\dfrac{13}{5}$ ④ $\dfrac{27}{10}$ ⑤ $\dfrac{14}{5}$ 정답 ⑤

좌표공간에서 점 ${\rm A}(0, \; 0, \; 1)$ 을 지나는 직선이 중심이 점 ${\rm C}(3, \; 4, \; 5)$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 구와 한 점 $\rm P$ 에서만 만난다. 세 점 $\rm A, \; C,\; P$ 를 지나는 원의 $xy$ 평면 위로의 정사영의 넓이의 최댓값은 $\dfrac{q}{p}\sqrt{41}\pi$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $9$