내적의 기하학적 의미_난이도 상 (2024년 11월 수능 기하 30번)

 

 

좌표평면에 한 변의 길이가 $4$인 정사각형 $\mathrm{ABCD}$ 가 있다. $\left | \overrightarrow{\mathrm{XB}}+\overrightarrow{\mathrm{XC}} \right | = \left | \overrightarrow{\mathrm{XB}}-\overrightarrow{\mathrm{XC}}\right |$ 를 만족시키는 점 $\mathrm{X}$가 나타내는 도형을 $S$ 라 하자. 

도형 $S$ 위의 점 $\mathrm{P}$ 에 대하여 $4 \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}+2\overrightarrow{\mathrm{PD}}$ 를 만족시키는 점을 $\mathrm{Q}$ 라 할 때, $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 $M, \; m$ 이라 하자. $M \times m$ 의 값을 구하시오. 

 

 

정답 $316$