수악중독

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$\sum \limits_{k=1}^n (2k-1)(2n+1-2k)^2=\dfrac{n^2 \left (2n^2+1 \right )}{3}$$ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (i) $n=1$ 일 때, (좌변)=$1$, (우변)=$1$ 이므로 주어진 등식은 성립한다.(ii) $n=m$ 일 때, 등식 $\sum \limits_{k=1}^m(2k-1)(2m+1-2k)^2=\dfrac{m^2 \left (2m^2 +1 \right )}{3} $ 이 성립한다고 가정하자. $n=m+1$ 일 때, $\sum \limits_{k=1}^{m+1} (2k-1)(2m+3-2k)^2$ $=\sum \limits_{k=1}^m(2k-1)(2m+3-2k)^2 + (가) $ ..

첫째항이 $3$ 인 등차수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $\sum \limits_{n=1}^{10} (a_{5n}-a_n)=440$ 일 때, $\sum \limits_{n=1}^{10} a_n$ 의 값을 구하시오. 정답 $120$

그림과 같이 자연수 $n$ 에 대하여 기울기가 $1$ 이고 $y$ 절편이 양수인 직선이 원 $x^2+y^2=\dfrac{n^2}{2}$ 에 접할 때, 이 직선이 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 ${\rm A}_n, \; {\rm B}_n$ 이라 하자. 점 ${\rm A}_n$ 을 지나고 기울기가 $-2$ 인 직선이 $y$ 축과 만나는 점을 ${\rm C}_n$ 이라 할 때, 삼각형 ${\rm A}_n{\rm B}_n{\rm C}_n$ 과 그 내부의 점들 중 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 모두 정수인 점의 개수를 $a_n$ 이라 하자. $\sum \limits_{n=1}^{10} a_n$ 의 값을 구하시오. 정답 $725$

세 실수 $a, \;b, \;c$ 가 이 순서대로 등차수열을 이루고 다음 조건을 만족시킬 때, $abc$ 의 값을 구하시오. (가) $\dfrac{2^a \times 2^c}{2^b}=32$(나) $a+c+ca=26$ 정답 $80$

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$ \dfrac{4}{3} + \dfrac{8}{3^2} + \dfrac{12}{3^3} + \cdots + \dfrac{4n}{3^n}=3-\dfrac{2n+3}{3^n} \cdots\cdots(*)$$ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (1) $n=1$ 일 때, (좌변)=$\dfrac{4}{3}$, (우변)=$3-\dfrac{5}{3}=\dfrac{4}{3}$ 이므로 $(*)$ 이 성립한다.(2) $n=k$ 일 때, $(*)$ 이 성립한다고 가정하면 $\dfrac{3}{4}+\dfrac{8}{3^2}+\dfrac{12}{3^3} +\cdots+\dfrac{4k}{3^k}=3-\dfrac{2k+3}{3^k}$ 이다. 위 등식의 양변에 $\dfrac{4..

자연수 $n$ 에 대하여 $$\left | \left ( n+ \dfrac{1}{2} \right )^2-m \right | < \dfrac{1}{2} $$ 을 만족시키는 자연수 $m$ 을 $a_n$ 이라 하자. $\sum \limits_{k=1}^5 a_k$ 의 값은? ① $65$ ② $70$ ③ $75$ ④ $80$ ⑤ $85$ 정답 ②

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$ \sum \limits_{k=1}^n (-1)^{k+1}k^2=(-1)^{n+1} \cdot \dfrac{n(n+1)}{2} \;\; \cdots\cdots\; (*)$$ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. (i) $n=1$ 일 때, (좌변) $=(-1)^2 \times 1^2 = 1$ (우변) $=(-1)^2 \times \dfrac{1 \times 2}{2} = 1$(ii) $n=m$ 일 때, (*) 이 성립한다고 가정하면 $\begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{m+1} (-1)^{k+1} k^2 &= \sum \limits_{k=1}^{m} (-1)^{k+1}k^2 + (가) \\ &= (나) + (가) \\ &= (-..