수악중독

수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) $a_{2n} = a_n-1$ (나) $a_{2n+1} = 2a_n +1$ $a_{20} =1 $ 일 때, $\sum \limits_{n=1}^{63} a_n$ 의 값은? ① $704$ ② $712$ ③ $720$ ④ $728$ ⑤ $736$ 더보기 정답 ④

첫째항이 짝수인 수열 $\{a_n\}$ 은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$ a_{n+1} = \begin{cases} a_n +3\;\; (a_n이 \; 홀수인 \; 경우) \\\\ \dfrac{a_n}{2} \;\; (a_n이 \; 짝수인\; 경우)\end{cases}$$ 를 만족시킨다. $a_5 = 5$ 일 때, 수열 $\{a_n\}$ 의 첫째항이 될 수 있는 모든 수의 합을 구하시오. 정답 $142$

첫째항이 자연수이고 공차가 음의 정수인 등차수열 $ \{a_n\}$ 과 첫째항이 자연수이고 공비가 음의 정수인 등비수열 $\{b_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킬 때, $a_7 + b_7$ 의 값을 구하시오. (가) $ \sum \limits_{n=1}^5 (a_n +b_n)=27$(나) $\sum \limits_{n=1}^5 (a_n +|b_n|)=67$(다) $\sum \limits_{n=1}^5 (|a_n| +|b_n|)=81$ 정답 $117$

좌표평면에서 그림과 같이 길이가 $1$ 인 선분이 수직으로 만나도록 연결된 경로가 있다. 이 경로를 따라 원점에서 멀어지도록 움직이는 점 $\rm P$ 의 위치를 나타내는 점 ${\rm A}_n$ 을 다음과 같은 규칙으로 정한다. (i) ${\rm A}_0$ 은 원점이다.(ii) $n$ 이 자연수일 때, ${\rm A}_n$ 은 점 $ {\rm A}_{n-1}$ 에서 점 $\rm P$ 가 경로를 따라 $\dfrac{2n-1}{25}$ 만큼 이동한 위치에 있는 점이다. 예를 들어, 점 ${\rm A}_2$ 와 ${\rm A}_6$ 의 좌표는 각각 $\left ( \dfrac{4}{25}, \; 0 \right )$, $\left (1, \; \dfrac{11}{25} \right )$ 이다. 자연수 $n$..

사차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족한다. (가) $5$ 이하의 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $\sum \limits_{k=1}^n f(k)=f(n)f(n+1)$ 이다.(나) $n=3, \; 4$ 일 때, $f(x)$ 에서 $x$ 의 값이 $n$ 에서 $n+2$ 까지 변할 때의 평균변화율은 양수가 아니다. $128 \times f \left ( \dfrac{5}{2} \right )$ 의 값을 구하시오. 정답 $65$

공차가 양수인 등차수열 $\{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) 수열 $\{a_n\}$ 의 모든 항은 정수이다. (나) $a_7, \; a_8, \; a_k$ 가 이 순서대로 등비수열을 이루도록 하는 $8$ 보다 큰 자연수 $k$ 가 존재한다. $a_k=144$ 가 되도록 하는 모든 $k$ 의 값의 합을 구하시오. 정답 $67$

두 수열 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ 이 모든 자연수 $k$ 에 대하여 $$b_{2k-1}= \left ( \dfrac{1}{2} \right )^{a_1+a_3+\cdots+a_{2k-1}}, \;\; b_{2k}=2^{a_2+a_4+\cdots+a_{2k}}$$ 을 만족시킨다. $\{a_n\}$ 은 등차수열이고, $b_1 \times b_2 \times b_3 \times \cdots \times b_{10}=8$ 일 때, $\{a_n\}$ 의 공차는? ① $\dfrac{1}{15}$ ② $\dfrac{2}{15}$ ③ $\dfrac{1}{5}$ ④ $\dfrac{4}{15}$ ⑤ $\dfrac{1}{3}$ 정답 ③

공차가 $0$ 이 아닌 등차수열 $\{ a_n \}$ 이 있다. 수열 $\{b_n \}$ 은 $$b_1=a_1$$이고, $2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 $$b_n = \begin{cases}b_{n-1}+a_n & (n이 \; 3의 \; 배수가 \; 아닌\; 경우) \\ b_{n-1}-a_n & (n이 \; 3의\; 배수인 \; 경우) \end{cases}$$이다. $b_{10} = a_{10}$ 일 때, $\dfrac{b_8}{b_{10}}= \dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) 정답 $13$

자연수 $n$ 에 대하여 집합 $S(n)$ 을 $$S(n)=\{ (x, \; y) \; | \; y-n \le x+6 \le 12, \; x, \; y는\; 자연수 \}$$라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 정사각형의 개수를 $a_n$ 이라 하자. (가) 정사각형의 네 꼭짓점은 집합 $S(n)$ 의 원소이다. (나) 정사각형의 네 변은 좌표축과 각각 평행하다. $\sum \limits_{n=1}^6 a_n$ 의 값을 구하시오. 정답 $855$

좌표평면 위에 점 ${\rm P}_1(1, \; 0)$ 이 있다. 자연수 $n$ 에 대하여 점 ${\rm P}_n$의 좌표를 $(x_n, \; y_n)$이라 할 때, $x_n + y_n$ 을 $3$ 으로 나누었을 때의 나머지 $r_n$ 의 값에 따라 다음과 같이 점 ${\rm P}_{n+1}$ 을 정한다. (가) $r_n=1$ 이면 점 ${\rm P}_n$ 을 $x$ 축의 방향으로 $1$ 만큼 평행이동시킨 점을 ${\rm P}_{n+1}$ 이라 한다. (나) $r_n=2$ 이면 점 ${\rm P}_n$ 을 $x$ 축의 방향으로 $2$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $2$ 만큼 평행이동시킨 점을 ${\rm P}_{n+1}$ 이라 한다. (다) $r_n=0$ 이면 점 ${\rm P}_n$ 을 $x$ 축의 방향..