수학적 귀납법_난이도 중 (2016년 4월 교육청 나형 18번)

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$ \dfrac{4}{3} + \dfrac{8}{3^2} + \dfrac{12}{3^3} + \cdots + \dfrac{4n}{3^n}=3-\dfrac{2n+3}{3^n} \cdots\cdots(*)$$ 이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(1) $n=1$ 일 때, (좌변)=$\dfrac{4}{3}$, (우변)=$3-\dfrac{5}{3}=\dfrac{4}{3}$ 이므로 $(*)$ 이 성립한다.

(2) $n=k$ 일 때, $(*)$ 이 성립한다고 가정하면

       $\dfrac{3}{4}+\dfrac{8}{3^2}+\dfrac{12}{3^3} +\cdots+\dfrac{4k}{3^k}=3-\dfrac{2k+3}{3^k}$

       이다.

       위 등식의 양변에 $\dfrac{4(k+1)}{3^{k+1}}$ 을 더하여 정리하면 

       $\dfrac{3}{4}+\dfrac{8}{3^2}+\dfrac{12}{3^3} +\cdots+\dfrac{4k}{3^k}+\dfrac{4(k+1)}{3^{k+1}}$

       $=3-\dfrac{1}{3^k} \left \{ (2k+3) - (가) \right \}$

       $=3-\dfrac{(나)}{3^{k+1}}$

       따라서 $n=k+1$ 일 때도 $(*)$ 이 성립한다.

(1), (2) 에 의하여 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $(*)$ 이 성립한다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(k), \; g(k)$ 라 할 때, $ f(3) \times g(2)$ 의 값은?

① $36$          ② $39$          ③ $42$          ④ $ 45$          ⑤ $ 48$

정답 ⑤