수악중독

그림과 같이 좌표평면 위에 네 점 \(\rm A(1,\;0), \; B(3, \;0),\;C(3, \;2),\;D(1,\;2)\) 를 꼭짓점으로 하는 정사각형 \(\rm ABCD\)가 있다. 한 변의 길이가 \(2\) 인 정사각형 \(\rm EFGH\) 의 두 대각선의 교점이 원 \(x^2+y^2=1\) 위에 있을 때, 두 정사각형의 내부의 공통부분의 넓이의 최댓값은? (단, 정사각형의 모든 변은 \(x\) 축 또는 \(y\) 축에 수직이다.) ① \(\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}\) ② \(\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\) ③ \(\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\) ④ \(\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\) ⑤ \(\dfrac{5\sqrt{2}}{4}\) 정답 ④

그림과 같이 중심이 \(\rm O\) 이고, 반지름의 길이가 \(1\) 인 원이 있다. 원의 중심으로부터 거리가 \(2\) 인 점 \(\rm A\) 에서 원과 서로 다른 두 점에서 각각 만나도록 그은 두 직선이 이루는 각의 크기가 \(\dfrac{\pi}{6}\) 로 일정하다. 원의 중심 \(\rm O\) 에서 두 직선까지의 거리를 각각 \(l,\;m\) 이라 할 때, \(2l^2+m^2\) 의 최솟값은 \(p+q\sqrt{7}\) 이다. \(30(p+q)\) 의 값을 구하시오. (단, \(p, \;q\) 는 유리수이다.) 정답 \(120\)

함수 \(f(x)=\dfrac{\ln x^2}{x}\) 의 극댓값을 \(\alpha\) 라 하자. 함수 \(f(x)\) 와 자연수 \(n\) 에 대하여 \(x\) 에 대한 방정식 \(f(x)-\dfrac{\alpha}{n}x=0\) 의 서로 다른 실근의 개수를 \(a_n\) 이라 할 때, \(\sum \limits_{n=1}^{10}a_n\) 의 값을 구하시오. 정답 \(34\)

함수 \(I_n(x)= \displaystyle \int (\ln x)^n dx \; (n=1,\;2,\;3,\;\cdots)\) 에 대한 보기의 설명 중에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, \(C\) 는 적분 상수) ㄱ. \(I_1(x)=x \ln x - x+C\)ㄴ. \(I_n(x)=x(\ln x)^n -n I_{n-1}(x)\)ㄷ. \(I_5(1)=0\) 이면 \(I_5(e)=75e\) ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ③

\(0 \leq x < \dfrac{\pi}{2}\) 에서 정의된 함수 \(f(x)\) 가 \[ f'(x)=\dfrac{1}{\cos x},\;\; f(0)=0\] 을 만족할 때, \(f \left ( \dfrac{\pi}{6} \right ) \) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{2} \ln 2\) ② \(\dfrac{1}{2} \ln 3\) ③ \(\ln 2\) ④ \(\ln 3\) ⑤ \(2 \ln 2\) 정답 ②

함수 \(f(x)=\dfrac{1}{x+1}\) 에 대하여 \[F(x)=\displaystyle \int_0^x tf(x-t) dt\;\; (x \geq 0)\] 일 때, \(F'(a)=\ln 10\) 을 만족시키는 상수 \(a\) 의 값을 구하시오. 정답 \(9\)

부등식 \(n< \displaystyle \int_0^2 \sqrt{27+2 \sin x} dx < n+1\) 을 만족하는 양의 정수 \(n\) 을 구하시오. 정답 \(10\)

그림은 \(0 \leq x \leq 2\pi\) 에서 정의된 함수 \(f(x)=\cos x + \left | \cos x \right |\) 의 그래프이다. \(\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} f \left ( 2x - \dfrac{\pi}{6} \right ) dx \) 의 값은? ① \(\dfrac{1}{2}\) ② \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ③ \(1\) ④ \(\sqrt{3}\) ⑤ \(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\) 정답 ③

\(x>0\) 일 때, 함수 \(f(x)=e^{-x}\cos x\) 가 극댓값을 갖는 \(x\) 의 값을 작은 것부터 차례대로 \(x_1 ,\; x_2,\; x_3,\; \cdots,\; x_n,\; \cdots\) 이라 하자. \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} f(x_n)\) 의 값은? (단, \(e\) 는 자연로그의 밑이다.) ① \( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{e^{\frac{\pi}{4}}}{e^{2 \pi}-1}\) ② \( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{e^{\frac{\pi}{2}}}{e^{2 \pi}-1}\) ③ \( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{e^{\frac{3}{4}\pi}..

두 함수 \(f(x)=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1},\;\; g(x)=ax\) 에 대한 설명으로 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, \(a\) 는 실수이다.) ㄱ. 두 함수 \(y=f(x),\; y=g(x)\) 의 그래프가 서로 다른 세 점에서 만날 때의 \(a\) 값의 범위는 \(a3\sqrt{3}\) 이다. ㄴ. 두 함수 \(y=f(x),\; y=g(x)\) 의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만날 때의 \(a\)의 값은 \(-3\sqrt{3}\) 또는 \(3\sqrt{3}\) 이다. ㄷ. 두 함수 \(y=f(x),\;y=g(x)\) 의 그래프가 한 점에서 만날 때의 \(a\) 의 값의 범위는 \(-3\sqrt{3}