수악중독

함수 \(f(x)=\dfrac{x-\frac{1}{2}}{\left ( x^2 -2x+2 \right )^2 } \) 에 대한 설명으로 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \(\left ( 1,\; \dfrac{1}{2} \right )\) 에서의 접선과 원점 사이의 거리는 \(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\) 이다. ㄴ. 함수 \(f(x)\) 의 최솟값은 \(-\dfrac{1}{8}\) 이다. ㄷ. 방정식 \(f(x)-f(10)=0\) 의 서로 다른 실근의 개수는 \(2\) 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 정답 ⑤

모든 실수 \(x\) 에서 \(f(x)>0\) 이고 미분가능한 함수 \(f(x)\) 와 함수 \(g(x)=\dfrac{1}{f(x)}\) 에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? ㄱ. 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f'(x)g'(x)

함수 \(f(x)=\displaystyle \int \dfrac{1}{1-e^x} dx\) 에 대하여 \(f(2)-f(1)\) 의 값은? ① \(\ln \dfrac{e}{e-1}\) ② \(\ln \dfrac{e-1}{e}\) ③ \(1\) ④ \(\ln \dfrac{e}{e+1}\) ⑤ \(\ln \dfrac{e+1}{e}\) 정답 ④

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\) 가 모든 실수 \(t\) 에 대하여 \(\displaystyle \int_0^2 xf(tx) dx=4t^2\) 을 만족시킬 때, \(f(2)\) 의 값은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ④

두 연속함수 \(f(x),\;g(x)\) 가 \[g\left( {{e^x}} \right) = \left\{ {\begin{array}{ll} {f\left( x \right)}&{\left( {0 \le x < 1} \right)}\\ {g\left( {{e^{x - 1}}} \right) + 5}&{\left( {1 \le x \le 2} \right)} \end{array},\;\;\; \displaystyle \int_1^{{e^2}} {g\left( x \right)dx = 6{e^2} + 4} } \right.\] 를 만족시키고, \(\displaystyle \int _1 ^e f(\ln x) dx =ae+b\) 일 때, \(a^2+b^2\) 의 값을 구하시오. 정답 \(17\)

닫힌 구간 \([0,\;4]\) 에서 정의된 함수 \(y=f(x)\) 의 그래프가 그림과 같다. \(\displaystyle \int _1^2 \dfrac{f \left ( x^2 \right )}{x} dx=p \ln 2 +q\) 일 때, \(10p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\) 와 \(q\) 는 유리수이다.) 정답 \(29\)

연속함수 \(f(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(f(2)=1\)(나) \(\displaystyle \int _0 ^2 f(x) dx = \dfrac{1}{4}\) \(\lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{k=1}^n \left \{ f \left ( \dfrac{2k}{n} \right ) - f \left ( \dfrac{2k-2}{n} \right ) \right \} \dfrac{k}{n} \) 의 값은? ① \(\dfrac{3}{4}\) ② \(\dfrac{4}{5}\) ③ \(\dfrac{5}{6}\) ④ \(\dfrac{6}{7}\) ⑤ \(\dfrac{7}{8}\) 정답 ⑤

그림과 같이 반지름의 길이가 1인 원에 내접하는 정삼각형 \(\rm ABC\) 가 있다. 호 \(\rm BC\) 를 \(n\) 등분하여 양 끝점을 포함한 각 등분점을 차례로 \[{\rm P}_0 (={\rm B}), {\rm P}_1,\; {\rm P}_2 ,\; {\rm P}_3,\; \cdots, \; {\rm P}_{n-1}, \;{\rm P}_n (={\rm C})\] 이라 할 때, \(\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\pi}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} \overline{{\rm AP}_k}\) 의 값은? ① \(6\) ② \(7\) ③ \(8\) ④ \(9\) ⑤ \(10\) 정답 ①

실수 전체에서 함수 \(f(x)=(x^2+a)e^x\) 의 역함수가 존재하기 위한 상수 \(a\) 의 최소값을 \(m\) 이라 하자. 함수 \(g(x)=\left ( x^2+m \right ) e^x\)의 역함수를 \(h(x)\) 라 할 때, \(\displaystyle \int _{m}^{2e} h(x) dx\) 의 값은? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ③

두 상수 \(a,\;b\) 에 대하여 함수 \[f(x)=a \sin x + bx+1\] 이 극값을 가질 때, 다음 중 항상 옳은 것은? ① \(a>b\) ② \(a b^2\) ④ \(a^2