수악중독

좌표공간에서 삼각형 \(\rm ABC\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 삼각형 \(\rm ABC\) 의 넓이는 \(6\) 이다. (나) 삼각형 \(\rm ABC\) 의 \(yz\) 평면 위로의 정사영의 넓이는 \(3\) 이다. 삼각형 \(\rm ABC\) 의 평면 \(x-2y+2z=1\) 위로의 정사영의 넓이의 최댓값은? ① \(2\sqrt{6}+1\) ② \(2\sqrt{2}+3\) ③ \(3\sqrt{5}-1\) ④ \(2\sqrt{5}+1\) ⑤ \(3\sqrt{6}-2\) 정답 ①

그림과 같이 좌표공간에 있는 정육면체 \(\rm OABC-DEFG\) 에서 \({\rm A}(4,\;0,\;0),\; {\rm C}(0,\;4,\;0),\;{\rm D}(0,\;0,\;4)\) 이다. 이 정육면체가 평면 \(x+y+2z=6\) 에 의하여 잘린 단면의 넓이를 \(S\) 라 할 때, \(S^2\) 의 값을 구하시오. (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) 정답 294

좌표공간에서 구 \(x^2 +y^2 +z^2 =50\) 이 두 평면 \[\alpha \;: \; x+y+2z=15\] \[\beta \; : \; x-y-4 \sqrt{3} z=25 \] 와 만나서 생기는 원을 각각 \(C_1 ,\; C_2\) 라 하자. 원 \(C_1\) 위의 점 \(\rm P\) 와 원 \(C_2\) 위의 점 \(\rm Q\) 에 대하여 \(\overline{{\rm PQ}} ^2\) 의 최솟값을 구하시오. 정답 40

한 변의 길이가 \(5\) 인 정사각형 \(\rm ABCD\) 의 두 변 \(\rm AB,\; AD\) 가 평면 \(\pi\) 와 이루는 예각의 크기를 각각 \(\alpha,\; \beta\) 라 하자. \(\sin \alpha = \dfrac{3}{5},\; \sin \beta = \dfrac{\sqrt{7}}{5}\) 일 때, □\(\rm ABCD\) 의 평면 \(\pi\) 위로의 정사영의 넓이를 구하시오. 정답 \(15\)

공간 위에 \( \overline{\rm AB}=\sqrt{5} ,\; \overline{\rm BC}=\sqrt{10} ,\; \overline{\rm CA} = \sqrt{13}\) 를 만족하는 세 점 \(\rm A,\;B,\;C\) 가 있다. 선분 \(\rm AB\) 를 지름으로 하는 구를 \(S_1\), 선분 \(\rm BC\) 를 지름으로 하는 구를 \(S_2 \), 선분 \(\rm CA\) 를 지름으로 하는 구를 \(S_3\) 라고 할 때, \(S_1 ,\; S_2 ,\; S_3\) 의 교점으로부터 평면 \(\rm ABC\) 까지의 거리가 \(\dfrac{q}{p}\) (단, \(p, \;q\) 는 서로소인 정수) 라고 한다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. 정답 \(13\)

그림과 같이 평면 위에 정삼각형 \(\rm ABC\) 와 선분 \(\rm AC\) 를 지름으로 하는 원 \(\rm O\) 가 있다. 선분 \(\rm BC\) 의 점 \(\rm D\) 를 \(\angle \rm DAB = \dfrac{\pi}{15}\) 가 되도록 정한다. 점 \(\rm X\) 가 원 \(\rm O\) 위를 움직일 때, 두 벡터 \(\overrightarrow{\rm AD},\; \overrightarrow{\rm CX}\) 의 내적 \(\overrightarrow{\rm AD} \cdot \overrightarrow{\rm CX}\) 의 값이 최소가 되도록 하는 점 \(\rm X\) 를 점 \(\rm P\) 라 하자. \(\angle {\rm ACP}= \dfrac{q}{p} \pi\) ..

아래 그림과 같이 정오각형 \(\rm ABCDE\) 에서 \(\overrightarrow{\rm AB} = \overrightarrow{a},\;\; \overrightarrow{\rm AE} = \overrightarrow{b}\) 라 할 때, \(\overrightarrow{\rm AC}\) 를 \( \overrightarrow{a} ,\; \overrightarrow{b}\) 로 나타내면? ① \( \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) ② \( \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}\) ③ \( \dfrac{\sqrt{5}+1}{2} \overright..

그림과 같이 좌표평면에서 꼭짓점이 원점 \(\rm O\) 이고 초점이 \(\rm F\) 인 포물선과 점 \(\rm F\) 를 지나고 기울기가 \(1\) 인 직선이 만나는 두 점을 각각 \(\rm A,\;B\) 라 하자. 선분 \(\rm AF\) 를 대각선으로 하는 정사각형의 한 변의 길이가 \(2\) 일 때, 선분 \(\rm AB\) 의 길이는 \(a+b\sqrt{2}\) 이다. \(a^2 +b^2 \) 의 값을 구하시오. (단, \(a,\; b\) 는 정수이다.) 정답 128

좌표공간에서 구 \[S:\;(x-1)^2 +(y-1)^2 +(z-1)^2 =4\] 위를 움직이는 점 \(\rm P\) 가 있다. 점 \(\rm P\) 에서 구 \(S\) 에 접하는 평면이 구 \(x^2 +y^2 +z^2 =16\) 과 만나서 생기는 도형의 넓이의 최댓값은 \(\left ( a+b \sqrt{3} \right ) \pi \) 이다. \(a+b\) 의 값을 구하시오. (단, \(a,\;b\) 는 자연수이다.) 정답 13

좌표공간에서 네 점 \(\rm A_0 ,\; A_1 ,\; A_2 ,\; A_3\) 이 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\left | \overrightarrow{\rm A_0 A_2} \right | = \left | \overrightarrow{\rm A_1 A_3} \right |=2\) (나) \(\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\rm A_0 A_3} \cdot \left ( \overrightarrow {\rm A_0 A_{\it k}} - \dfrac{1}{2} \overrightarrow{\rm A_0 A_3} \right ) = \cos \dfrac{3-k}{3}\pi \;\; (k=1,\;2,\;3)\) \(\left | \overrightarrow{\rm A_1 ..