수악중독

다음 그림과 같이 삼차함수 $f(x)=x^3-x^2-2x$ 의 그래프와 직선 $y=kx$ 로 둘러싸인 도형의 넓이를 각각 $S_1, \; S_2$ 라 하자. $S_2-S_1=18$ 일 때, 실수 $k$ 의 값은?  ① $\dfrac{21}{4}$          ② $\dfrac{23}{4}$          ③ $\dfrac{25}{4}$          ④ $\dfrac{27}{4}$          ⑤ $\dfrac{29}{4}$ 더보기정답 ④

양수 $a$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를 $$f(x)= \begin{cases} x^2 -1 & (x ① $\dfrac{14}{3}$          ② $\dfrac{29}{6}$          ③ $5$          ④ $\dfrac{31}{6}$          ⑤ $\dfrac{16}{3}$ 더보기정답 ⑤

두 삼차함수 $f(x), \; g(x)$ 에 대하여 함수 $$h(x)=\begin{cases} \dfrac{f(x)}{g(x)} & (x \ne 2) \\[10pt] 3 & (x=2) \end{cases}$$ 가 실수 전체의 집합에서 연속이고 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim \limits_{x \to \infty} h(x)=3$ 이고, $\lim \limits_{x \to 1} \dfrac{1}{h(x)}=\infty$ 이다.(나) 방정식 $h(x)=12$ 가 오직 하나의 실근을 가진다. $h(0)$ 의 값은? ① $\dfrac{1}{7}$          ② $\dfrac{2}{7}$          ③ $\dfrac{3}{7}$          ④ $\dfrac{4}{7}$         ..

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $$g(x)=|f(x)|-f'(x)$$ 라 할 때, 두 함수 $f(x), \; g(x)$ 는 다음을 만족시킨다.  (가) $g(0)=f(0)=1$(나) 방정식 $|f(x)|=3$ 의 서로 다른 실근의 개수는 $3$ 이다.(다) 함수 $g(x)$ 가 $x=k$ 에서 미분불가능한 실수 $k$ 의 개수는 $3$ 이다. $g(1)$ 의 값은? ① $-1$          ② $0$          ③ $1$          ④ $4$          ⑤ $7$ 더보기정답 ④

함수 $f(x)$ 를 $f(x)=(x+1)^2 (x-1)^2$ 이라 하자. $-1 \le x \le 1$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $$f(x) \le f'(t)(x-t)+f(t)$$ 를 만족시키도록 하는 실수 $t$ 의 최댓값은? ① $\dfrac{1}{2}$          ② $\dfrac{1}{3}$          ③ $\dfrac{1}{4}$          ④ $\dfrac{1}{5}$          ⑤ $\dfrac{1}{6}$ 더보기정답 ②

모든 항이 자연수인 수열 $\{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킬 때, 모든 $a_1$ 의 값의 합을 구하시오. (가) 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $$a_{n+1} = \begin{cases} a_n +1 & (a_n\text{은 홀수}) \\[10pt] \dfrac{a_n}{2} & (a_n\text{은 짝수}) \end{cases}$$(나) $a_5=1$ 더보기정답 $34$

자연수 $n$ 에 대하여 집합 $$\{x|x \le \log_2(x+n), \; x \text{는 자연수} \}$$ 의 원소의 개수를 $f(n)$ 이라 할 때, $\sum \limits_{n=1}^{20} f(n)$ 의 값을 구하시오.  더보기정답 $64$

다항함수 $f, \; g$ 가 모든 실수 $x, \; y$ 에 대하여 $$f(0)=5, \quad f(x-g(y))=\left (x +4y^2 -1 \right )^3 -3$$ 을 만족시킬 때, 함수 $h(x)=f(x)-g(x)$ 의 극댓값을 구하시오. 더보기정답 $74$

실수 전체의 집합에서 도함수가 연속인 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\displaystyle \int_0^4 f(x)dx $ 의 값을 구하시오. (가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $\left ( f'(x)+2 \right ) \left (f'(x)-2 \right )=x(x-4)$ 이다.(나) $f(0) 더보기정답 $4$

함수 $f(x)=\dfrac{2^x}{2^x+\sqrt{2}}$ 에 대하여 수열 $\{a_n\}$ 의 일반항이 $$a_n=f \left ( \dfrac{1}{n} \right ) + f \left ( \dfrac{2}{n} \right ) + f \left ( \dfrac{3}{n} \right ) + \cdots f \left ( \dfrac{n-1}{n} \right )+ f \left ( \dfrac{n}{n} \right )$$ 일 때, $\sum \limits_{n=1}^{20} a_n =p+q \sqrt{2}$ 이다. 정수 $p, \; q$ 에 대하여 $p+q$ 의 값을 구하시오. 더보기정답 $115$