수악중독

\(5\) 명의 학생 \(\rm A.\; B,\; C,\; D,\; E\) 가 같은 영화를 보기 위해 함께 상영관에 갔다. 상영관에는 그림과 같이 총 \(5\) 개의 좌석만 남아 있었다. (가) 구역에는 \(1\) 열에 \(2\) 개의 좌석이 남아 있었고, (나) 구역에는 \(1\) 열에 \(1\) 개와 \(2\) 열에 \(2\) 개의 좌석이 남아 있었다.\(5\) 명의 학생 모두가 남아 있는 \(5\) 개의 좌석을 임의로 배정받기로 하였다. 학생 \(\rm A\) 와 \(\rm B\) 가 서로 다른 구역의 좌석을 배정받았을 때, 학생 \(\rm C\) 와 \(\rm D\) 가 같은 구역에 있는 같은 열의 좌석을 배정받을 확률은? ① \(\dfrac{1}{18}\) ② \(\dfrac{1}{12}\) ③..

함수 \(f(x)=\sin \pi x\)와 이차함수 \(g(x)=x(x+1)\) 에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(h(x)\) 를 \[h(x)=\displaystyle \int _{g(x)}^{g(x+1)} f(t) dt\] 라 할 때, 닫힌 구간 \([-1, \;1]\) 에서 방정식 \(h(x)=0\) 의 서로 다른 실근의 개수는? ① \(1\) ② \(2\) ③ \(3\) ④ \(4\) ⑤ \(5\) 정답 ⑤

한 모서리의 길이가 \(4\) 인 정사면체 \(\rm ABCD\) 에서 선분 \(\rm AD\) 를 \(1:3\) 으로 내분하는 점을 \(\rm P\), \(3:1\) 로 내분하는 점을 \(\rm Q\) 라 하자. 두 평면 \(\rm PBC\) 와 \(\rm QBC\) 가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\) 라 할 때, \(\cos \theta = \dfrac{q}{p}\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\) 와 \(q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \(16\)

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\) 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(f(1)=2\)(나) \(\displaystyle \int _0 ^1 (x-1) f'(x+1) dx = -4\) \(\displaystyle \int _1 ^2 f(x) dx\) 의 값을 구하시오. (단, \(f'(x)\) 는 연속함수이다.) 정답 \(6\)

주머니 속에 \(1\) 의 숫자가 적혀 있는 공 \(1\) 개, \(3\) 의 숫자가 적혀 있는 공 \(n\) 개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 \(1\) 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는다. 이와 같은 시행을 \(2\) 번 반복하여 얻은 두 수의 평균을 \(\overline{X}\) 라 하자. \({\rm P} \left ( \overline{x} =1 \right ) = \dfrac{1}{49}\) 일 때, \({\rm E} \left ( \overline{X} \right ) = \dfrac{q}{p}\) 이다. \(p+q\) 의 값을 구하시오. (단, \(p\) 와 \(q\) 는 서로소인 자연수이다.) 정답 \(26\)

좌표평면에서 함수 \(f(x)=\sqrt{3} \ln x\) 의 그래프와 직선 \(l\;:\; y=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} x + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 이 있다. 곡선 \(y=f(x)\) 위의 서로 다른 두 점 \({\rm A}(\alpha, \; f(\alpha)), \; {\rm B}(\beta, \; f(\beta))\) 에서의 접선을 각각 \(m, \;n\) 이라 하자. 세 직선 \(l,\;m,\;n\) 으로 둘러싸인 삼각형이 정삼각형일 때, \(6(\alpha + \beta)\) 의 값을 구하시오. 정답 \(32\)

좌표공간에서 구 \(S\;:\; x^2 +y^2 + (z-3)^2 =4\) 와 평면 \(x-y+z-6=0\) 이 만나성 생기는 원을 \(C\) 라 하자. 구 \(S\) 위의 점 \({\rm A} \left ( \sqrt{2},\; \sqrt{2},\; 3 \right )\) 과 원 \(C\) 위를 움직이는 점 \(\rm B\) 에 대하여 두 벡터 \(\overrightarrow{\rm OA},\; \overrightarrow{\rm OB}\) 의 내적 \(\overrightarrow{\rm OA} \cdot \overrightarrow{\rm OB}\) 의 최댓값과 최솟값의 곱을 구하시오. (단, \(\rm O\) 는 원점이다.) 정답 \(134\)