미적분과 통계기본_경우의 수_이항정리_이항계수의 성질_난이도 상

다음은 $n$ 이 $2$ 이상의 자연수일 때 $\sum \limits _{k=1}^{n} k \left ( _n {\rm C} _k \right )^2$ 의 값을 구하는 과정이다.

두 다항식의 곱 $\left ( a_0 +a_1 x + \cdots + a_{n-1} x^{n-1} \right ) \left ( b_0 + b_1 x + \cdots + b_n x^n \right )$ 에서 $x^{n-1}$ 의 계수는 $a_0 b_{n-1} +a_1 b_{n-2} + \cdots + a_{n-1} b_0\;\;\;\cdots \cdots (*)$ 이다.
등식 $(1+x)^{2n-1} = (1+x)^{n-1} (1+x)^n$ 의 좌변에서 $x^{n-1}$ 의 계수는 ( 가 )이고, $(*)$ 을 이용하여 우변에서 $x^{n-1}$ 의 계수를 구하면 $\sum \limits _{k=1}^{n} \left ( _{n-1} {\rm C} _{k-1} \times \;\;(나)\;\; \right )$ 이다. 
따라서 $(가) = \sum \limits _{k=1}^{n} \left ( _{n-1} {\rm C} _{k-1} \times (나) \right )$ 이다.
한편, $1 \le k \le n$ 일 때, $k \times {_n {\rm C} _k} = n \times {_{n-1} {\rm C} _{k-1}}$ 이므로 $\sum \limits _{k=1}^{n} k \left ( _n {\rm C} _k \right ) ^2 = \sum \limits _{k=1}^{n} \left (n \times _{n-1} {\rm C} _{k-1} \times (나) \right ) =n \times \sum \limits _{k=1}^{n} \left ( _{n-1} {\rm C} _{k-1} \times (나) \right )=(다)$ 이다. 

위의 과정에서 (가), (나), (다) 에 알맞은 것은?

	(가)	(나)	(다)
①	$_{2n} {\rm C} _{n}$	$_{n} {\rm C} _{n-k+1}$	$\frac{n}{2} \times {_{2n} {\rm C} _{n+1}}$
②	$_{2n-1} {\rm C} _{n-1}$	$_{n} {\rm C} _{n-k+1}$	$\frac{n}{2} \times {_{2n} {\rm C} _{n}}$
③	$_{2n-1} {\rm C} _{n-1}$	$_{n} {\rm C} _{n-k}$	$\frac{n}{2} \times {_{2n} {\rm C} _{n}}$
④	$_{2n} {\rm C} _{n}$	$_{n} {\rm C} _{n-k+1}$	$n \times {_{2n} {\rm C} _{n+1}}$
⑤	$_{2n-1} {\rm C} _{n-1}$	$_{n} {\rm C} _{n-k}$	$n \times {_{2n} {\rm C} _{n}}$

정답 ③