벡터 종점의 자취_난이도 상 (2024년 10월 전국연합 고3 기하 28번)

 

 

좌표평면의 두 점 $\mathrm{A}(9, \; 0), \; \mathrm{B}(8, \; 1)$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 점 $X$ 의 집합을 $S$ 라 하자.

 

(가) $\left | \overrightarrow{\mathrm{AX}} \right | = 2$

(나) $\left | \overrightarrow{\mathrm{OB}}+k \overrightarrow{\mathrm{BX}} \right | = 4$ 를 만족시키는 실수 $k$ 가 존재한다.

 

집합 $S$ 에 속하는 점 중에서 $x$ 좌표가 최대인 점을 $\mathrm{P}$ 라 하자. 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}, \; \overrightarrow{\mathrm{BP}}$ 가 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $\cos \theta$ 의 값은? (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.)

 

① $\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$          ② $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$          ③ $\dfrac{\sqrt{10}}{5}$          ④ $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$          ⑤ $\dfrac{\sqrt{10}}{10}$

 

정답 ①