도형과 등비급수_난이도 중상 (2022년 9월 평가원 고3 미적분 27번)

 

 

그림과 같이 $\overline{\rm A_1B_1}=4$,  $\overline{\rm A_1D_1}=1$ 인 직사각형 $\rm A_1B_1C_1D_1$ 에서 두 대각선의 교점을 $\rm E_1$ 이라 하자. $\overline{\rm A_2D_1}=\overline{\rm D_1E_1}$,  $\angle \rm A_2D_1E_1=\dfrac{\pi}{2}$ 이고 선분 $\rm D_1C_1$ 과 선분 $\rm A_2E_1$ 이 만나도록 점 $\rm A_2$ 를 잡고, $\overline{\rm B_2C_1} = \overline{\rm C_1E_1}$, $\angle \rm B_2C_1E_1=\dfrac{\pi}{2}$ 이고 선분 $\rm D_1C_1$ 과 선분 $\rm B_2E_1$ 이 만나도록 점 $\rm B_2$ 를 잡는다. 두 삼각형 $\rm A_2D_1E_1$, $\rm B_2C_1E_1$ 을 그린 후 

 

모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자.

그림 $R_1$ 에서 $\overline{\rm A_2B_2}:\overline{\rm A_2D_2}=4:1$ 이고 선분 $\rm D_2C_2$ 가 두 선분 $\rm A_2E_1$, $\rm B_2E_1$ 과 만나지 않도록 직사각형 $\rm A_2B_2C_2D_2$ 를 그린다. 그림 $R_1$ 을 얻은 것과 같은 방법으로 세 점 $\rm E_2, \; A_3, \; B_3$ 을 잡고 두 삼각형 $\rm A_3D_2E_2, \; B_3C_2E_2$ 를 그린 후 

 

모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$ 라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_n$ 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} S_n$ 의 값은?

 

 

① $\dfrac{68}{5}$          ② $\dfrac{34}{3}$          ③ $\dfrac{68}{7}$          ④ $\dfrac{17}{2}$          ⑤ $\dfrac{68}{9}$

 

정답 ③