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수악중독

도형과 등비급수_난이도 중 (2022년 10월 전국연합 고3 미적분 27번) 본문

미적분 - 문제풀이/수열의 극한

도형과 등비급수_난이도 중 (2022년 10월 전국연합 고3 미적분 27번)

수악중독 2023. 1. 18. 00:38

 

 

그림과 같이 A1B1=1\overline{\rm A_1B_1}=1B1C1=26\overline{\rm B_1C_1}=2\sqrt{6} 인 직사각형 A1B1C1D1\rm A_1B_1C_1D_1 이 있다. 중심이 B1\rm B_1 이고 반지름의 길이가 11 인 원이 선분 B1C1\rm B_1C_1 과 만나는 점을 E1\rm E_1 이라 하고, 중심이 D1\rm D_1 이고 반지름의 길이가 11 인 원이 선분 A1B1\rm A_1B_1 과 만나는 점을 F1\rm F_1 이라 하자. 선분 B1D1\rm B_1D_1 이 호 A1E1\rm A_1E_1, 호 C1F1\rm C_1F_1 과 만나는 점을 각각 B2\rm B_2, D2\rm D_2 라 하고, 두 선분 B1B2\rm B_1B_2, D1D2\rm D_1D_2 의 중점을 각각 G1\rm G_1, H1\rm H_1 이라 하자.

두 선분 A1G1\rm A_1G_1, G1B2G_1B_2 와 호 B2A1\rm B_2A_1 으로 둘러싸인 부분인 

 

모양의 도형과 두 선분 D2H1\rm D_2H_1 , H1F1\rm H_1F_1 과 호 F1D2\rm F_1D_2 로 둘러싸인 부분인 

 

모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R1R_1 이라 하자.

그림 R1R_1 에서 선분 B2D2\rm B_2D_2 가 대각선이고 모든 변이 선분  A1B1\rm A_1B_1 또는 선분 B1C1\rm B_1C_1 에 평행한 직사각형 A2B2C2D2\rm A_2B_2C_2D_2 를 그린다. 직사각형 A2B2C2D2\rm A_2B_2C_2D_2 에 그린 R1R_1 을 얻은 것과 같은 방법으로 

 

모양의 도형과

모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 R2R_2 라 하자. 

이와 같은 과정을 계속하여 nn 번째 얻은 그림 RnR_n 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS_n 이라 할 때 limnSn\lim \limits_{n \to \infty} S_n 의 값은?

 

 

25π126564\dfrac{25\pi-12\sqrt{6}-5}{64}          ② 25π126464\dfrac{25\pi-12\sqrt{6}-4}{64}          ③ 25π106664\dfrac{25\pi-10\sqrt{6}-6}{64}

 

25π106564\dfrac{25\pi-10\sqrt{6}-5}{64}          ⑤ 25π106464\dfrac{25\pi-10\sqrt{6}-4}{64}

 

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정답 ④

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