도형과 등비급수_난이도 중상 (2022년 7월 전국연합 고3 미적분 27번)

 

 

그림과 같이 $\overline{\rm A_1B_1}=1$,  $\overline{\rm B_1C_1}=2$ 인 직사각형 $\rm A_1B_1C_1D_1$ 이 있다. 선분 $\rm A_1D_1$ 의 중점 $\rm E_1$ 에 대하여 두 선분 $\rm B_1D_1, \; C_1E_1$ 이 만나는 점을 $\rm F_1$ 이라 하자. $\overline{\rm G_1E_1}=\overline{\rm G_1F_1}$ 이 되도록 선분 $\rm B_1D_1$ 위에 점 $\rm G_1$ 을 잡아 삼각형 $\rm G_1F_1E_1$ 을 그린다. 두 삼각형 $\rm C_1D_1F_1, \; G_1F_1E_1$ 로 만들어진 

 

모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자.

그림 $R_1$ 에서 선분 $\rm B_1F_1$ 위의 점 $\rm A_2$, 선분 $\rm B_1C_1$ 위의 두 점 $\rm B_2, \; C_2$, 선분 $\rm C_1F_1$ 위의 점 $\rm D_2$ 를 꼭짓점으로 하고 $\overline{\rm A_2B_2}:\overline{\rm B_2C_2}=1:2$ 인 직사각형 $\rm A_2B_2C_2D_2$ 를 그린다. 직사각형 $\rm A_2B_2C_2D_2$ 에 그림 $R_1$ 을 얻은 것과 같은 방법으로 

 

모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$ 라 하자. 

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_n$ 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} S_n$ 의 값은?

 

 

① $\dfrac{23}{42}$          ② $\dfrac{25}{42}$          ③ $\dfrac{9}{14}$          ④ $\dfrac{29}{42}$          ⑤ $\dfrac{31}{42}$

 

정답 ②