도형과 등비급수_난이도 중상 (2022년 11월 수능 미적분 27번)

 

 

그림과 같이 중심이 $\rm O$, 반지름의 길이가 $1$ 이고 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\rm OA_1B_1$ 이 있다. 호 $\rm A_1B_1$ 위에 점 $\rm P_1$, 선분 $\rm OA_1$ 위에 점 $\rm C_1$, 선분 $\rm OB_1$ 위에 점 $\rm D_1$ 을 사각형 $\rm OC_1P_1D_1$ 이 $\overline{\rm OC_1}:\overline{\rm OD_1}=3:4$ 인 직사각형이 되도록 잡는다. 

부채꼴 $\rm OA_1B_1$ 의 내부에 점 $\rm Q_1$ 을 $\overline{\rm P_1Q_1} = \overline{\rm A_1Q_1}$,  $\angle \rm P_1Q_1A_1 = \dfrac{\pi}{2}$ 가 되도록 잡고, 이등변삼각형 $\rm P_1Q_1A_1$ 에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$ 이라 하자.

그림 $R_1$ 에서 선분 $\rm OA_1$ 위의 점 $\rm A_2$ 와 선분 $\rm OB_1$ 위의 점 $\rm B_2$ 를 $\overline{\rm OQ_1}=\overline{\rm OA_2}=\overline{\rm OB_2}$ 가 되도록 잡고, 중심이 $\rm O$, 반지름의 길이가 $\overline{\rm OQ_1}$, 중심각의 크기가 $\dfrac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $\rm OA_2B_2$ 를 그린다. 그림 $R_1$ 을 얻은 것과 같은 방법으로 네 점 $P_2, \; C_2, \; D_2, \; Q_2$ 를 잡고, 이등변삼각형 $\rm P_2Q_2A_2$ 에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$ 라 하자. 

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 얻은 그림 $R_n$ 에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$ 이라 할 때, $\lim \limits_{n \to \infty} S_n$ 의 값은?

 

 

① $\dfrac{9}{40}$          ② $\dfrac{1}{4}$          ③ $\dfrac{11}{40}$          ④ $\dfrac{3}{10}$          ⑤ $\dfrac{13}{40}$

 

정답 ②