사인법칙&코사인법칙_난이도 중상 (2022년 10월 교육청 고3 13번)

그림과 같이 $\overline{\rm AB}=2$,  $\overline{\rm BC}=3\sqrt{3}$,  $\overline{\rm CA}=\sqrt{13}$ 인 삼각형 $\rm ABC$ 가 있다. 선분 $\rm BC$ 위에 점 $\rm B$ 가 아닌 점 $\rm D$ 를 $\overline{\rm AD}=2$ 가 되도록 잡고, 선분 $\rm AC$ 위에 양 끝점 $\rm A, \; C$ 가 아닌 점 $\rm E$ 를 사각형 $\rm ABDE$ 가 원에 내접하도록 잡는다.

 

 

다음은 선분 $\rm DE$ 의 길이를 구하는 과정이다.

 

삼각형 $\rm ABC$ 에서 코사인법칙에 의하여 $\cos (\angle {\rm ABC}) = \boxed{ (가) }$ 이다. 삼각형 $\rm ABD$ 에서 $\sin( \angle {\rm ABD}) = \sqrt{1- \left ( \boxed{ (가) } \right )^2}$  이므로 사인법칙에 의하여 삼각형 $\rm ABD$ 의 외접원의 반지름의 길이는 $\boxed { (나) }$ 이다. 

삼각형 $\rm ADC$ 에서 사인법칙에 의하여 $\dfrac{\overline{\rm CD}}{\sin ( \angle {\rm CAD})} = \dfrac{\overline{\rm AD}}{\sin (\angle {\rm ACD})}$ 이므로 $\sin (\angle {\rm CAD})=\dfrac{\overline{\rm CD}}{\overline{\rm AD}} \times \sin(\angle {\rm ACD})$ 이다.

삼각형 $\rm ADE$ 에서 사인법칙에 의하여 $\overline{\rm DE} = \boxed{ (다) }$ 이다.

 

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p, \; q, \; r$ 라 할 때, $p \times q \times r$ 의 값은?

 

① $\dfrac{6 \sqrt{13}}{13}$          ② $\dfrac{7\sqrt{13}}{13}$          ③ $\dfrac{8\sqrt{13}}{13}$          ④ $\dfrac{9\sqrt{13}}{13}$          ⑤ $\dfrac{10\sqrt{13}}{13}$

 

정답 ①