사인법칙&코사인법칙_난이도 중 (2022년 사관학교 13번)

그림과 같이 중심이 $\rm O_1$ 이고 반지름의 길이가 $r\; (r>3)$ 인 원 $C_1$ 과 중심이 $\rm O_2$ 이고 반지름의 길이가 $1$ 인 원 $C_2$ 에 대하여 $\overline{\rm O_1O_2}=2$ 이다. 원 $C_1$ 위를 움직이는 점 $\rm A$ 에 대하여 직선 $\rm AO_2$ 가 원 $C_1$ 과 만나는 점 중 $\rm A$ 가 아닌 점을 $\rm B$ 라 하자. 원 $C_2$ 위를 움직이는 점 $\rm C$ 에 대하여 직선 $\rm AC$ 가 원 $C_1$ 과 만나는 점 중 $\rm A$ 가 아닌 점을 $\rm D$ 라 하자. 다음은 $\overline{\rm BD}$ 가 최대가 되도록 네 점 $\rm A, \; B, \; C, \; D$ 를 정할 때, $\overline{\rm O_1C}^2$ 을 $r$ 에 대한 식으로 나타내는 과정이다.

 

삼각형 $\rm ADB$ 에서 사인법칙에 의하여 $$\dfrac{\overline{\rm BD}}{\sin {\rm A}}=\boxed{ (가) }$$ 이므로 $\overline{\rm BD}$ 가 최대이려면 직선 $\rm AD$ 가 원 $C_2$ 와 점 $\rm C$ 에서 접해야 한다. 

이때 직각삼각형 $\rm ACO_2$ 에서 $\sin {\rm A} = \dfrac{1}{\overline{\rm AO_2}}$ 이므로 $$\overline{\rm BD} = \dfrac{1}{\overline{\rm AO_2}} \times \boxed{ (가) }$$ 이다. 

그러므로 직선 $\rm AD$ 가 원 $C_2$ 와 점 $\rm C$ 에서 접하고 $\overline{\rm AO_2}$ 가 최소일 때 $\overline{\rm BD}$ 는 최대이다.

$\overline{\rm AO_2}$ 의 최솟값은 $$\boxed{ (나) }$$ 이므로 $\overline{\rm BD}$ 가 최대일 때, $$\overline{\rm O_1C}^2=\boxed{ (다 ) }$$ 이다.

 

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(r), \; g(r), \; h(r)$ 라 할 때, $f(4) \times g(5) \times h(6)$ 의 값은?

 

① $216$          ② $192$          ③ $168$          ④ $144$          ⑤ $120$

 

정답 ④