함수의 그래프와 미분&치환적분_난이도 상 (2022년 9월 평가원 고3 미적분 30번)

최고차항의 계수가 $1$ 인 사차함수 $f(x)$ 와 구간 $(0, \; \infty)$ 에서 $g(x) \ge 0$ 인 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) $x \le -3$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x) \ge f(-3)$ 이다.

(나) $x>-3$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g(x+3) \{f(x)-f(0) \}^2 = f'(x)$ 이다.

 

$\displaystyle \int_4^5 g(x)dx = \dfrac{q}{p}$ 일 때, $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.)

 

정답 $283$